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Informatik Minister

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1

Thursday, April 11th 2002, 1:56pm

Analysis Aufg. 3

Schönen Tag, wie beweise ich wasserfest und felsenfest, dass ds Maximum des "Gitters" bei n=m=1 liegt...
Ich hab jeweils m bzw. n als Konstante angenommen und die Funktion abgeleitet. Ergebnis: die Variable ist 1...
Daraus kann man ja schliessen, dass das Maximum des Gitters genau bei m=n=1 liegt...
Aber, ob man das mathematisch so machen kann ist mir ein Skript mit 7 Siegeln.

Also Frage:

Wie zeig ich, dass das Maximum bei m=n=1, also 1/e^2 liegt???

cowhen

Muuuh!

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2

Thursday, April 11th 2002, 2:56pm

habe den teilterm (1-x) *e^x betrachtet. dann funktionsdiskussion davon... => max bei 1.

und dann mit satz 1.3-5(h) sup(m) = sup(m1)*sup(m2)

und mit satz 1.3-5(c) weiter.


hth

cowhen
plenty of time to relax when you are dead

Diktator

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3

Thursday, April 11th 2002, 3:10pm

menge der nat. zahlen N ={1,2,3,...}. dei folge ist aufteilbar in zwei faktoren:
m/(e^m). und analog für n.
die teilfolgen konvergieren für m bzw n --> unendlich gegen 0. also ist 1 bei jeder der teilfolgen das max=sup.
inf=0. min existiert nicht.
aus den rechenregeln folgt:
folge1*folge2 --> grenzwert1*grenzwert2.

ich hoff, das ist verständlich. es müsste als lösung ausreiichen, wenn das richtig ist.
so far...
Diktator
Holzhacken ist deshalb so beliebt, weil man bei dieser Tätigkeit den Erfolg sofort sieht. - Albert Einstein

Diktator

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4

Thursday, April 11th 2002, 3:14pm

Quoted

Original von cowhen
...funktionsdiskussion davon... cowhen

darf man diese folge diskutieren? es ist keine funktion, als skizze erhälst du einzelne punkte mit x-abstand 1. ausserdem ist m,n element N . wenn du die folge wie oben in zwei folgen aufteilst, braucht du nichts zu diskutieren, weil alles ersichtlich wird = nenner immer größer als zähler.
der trick ist also: die menge der natürlichen zahlen lässt du bei 1, nicht bei null anfangen. das ist mathematisch-legal!
so far...
Diktator
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  • "Joachim" is male

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5

Thursday, April 11th 2002, 5:46pm

Quoted

Original von Diktator
die teilfolgen konvergieren für m bzw n --> unendlich gegen 0. also ist 1 bei jeder der teilfolgen das max=sup.
Das mußt du aber alles noch begründen. Die Tatsache, daß der Grenzwert gegen unendlich Null ist, sagt alleine über Infimum und Supremum noch gar nichts aus.


Quoted

Quoted

Original von cowhen
...funktionsdiskussion davon... cowhen

darf man diese folge diskutieren? es ist keine funktion, als skizze erhälst du einzelne punkte mit x-abstand 1. ausserdem ist m,n element N.
IMHO darf man das. Eine Betrachtung der Folge als Funktion in R ist hier zulässig. Man muß nur bei den Ergebnissen, die man erhält, aufpassen, daß man keine Extremstellen, die nicht in N liegen, später als Lösung anerkennt (kommt bei dieser Folge aber gar nicht vor).

Quoted

wenn du die folge wie oben in zwei folgen aufteilst, braucht du nichts zu diskutieren, weil alles ersichtlich wird = nenner immer größer als zähler....
Das heißt nichts. Aus der Tatsache, daß der Nenner immer größer als der Zähler ist, kann man nicht auf Infimum und Supremum schließen. Gesucht sind schließlich die Stellen, an denen das Verhältnis von Zähler und Nenner (also der "Funktionswert") am größten bzw. kleinsten ist!
The purpose of computing is insight, not numbers.
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6

Thursday, April 11th 2002, 7:39pm

Seid Ihr sicher, dass 0 Infimum und nicht sogar Minimum ist? Timmann meinte doch, dass bei ihm die natürlichen Zahlen bei 0 anfangen, dann würde die 0 doch hier zur Menge dazugehören und deshalb Minimum sein, oder?
Peace

Informatik Minister

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7

Thursday, April 11th 2002, 8:06pm

neeee

er meinte grad, dass die 0 NICHT dazugehört...sonst nennt ers |No



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8

Thursday, April 11th 2002, 8:13pm

Okay, hab ich wohl falsch verstanden.
Peace

KreiS

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9

Thursday, April 11th 2002, 10:40pm

bei ihm fangen ja die Zahlen bei N ab 1 an.
Was ich mich frage, beim inf und sup, betrache ich nun N oder R, also was inf nun für werte haben kann.
wenn ich nur aus N Werte nehmen darf, gibt es kein inf. muss ich mir nochmal ansehen, ich finde da hat er viel zu wenige beispiele gezeigt, script ist auch nicht das was mich weiterbrachte bis jetzt, nicht bei der frage.
min gibt es net, da der Wert gegen null geht, und es immer kleinereren wert gibt. 0 wird nicht erreicht, 0 wäre aber inf, wenn 0 in N liegen würde, was es ja nicht tut ;)

alles ganz kompliziert, ich liebe analysis, macht echt spaß ;)
kaneda spring <-> ks <-> KreiS
"surrender is an option ...time to change everything" (ks '04)

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10

Thursday, April 11th 2002, 10:52pm

Quoted

Original von KreiS
bei ihm fangen ja die Zahlen bei N ab 1 an.
Was ich mich frage, beim inf und sup, betrache ich nun N oder R, also was inf nun für werte haben kann.
wenn ich nur aus N Werte nehmen darf, gibt es kein inf. muss ich mir nochmal ansehen, ich finde da hat er viel zu wenige beispiele gezeigt, script ist auch nicht das was mich weiterbrachte bis jetzt, nicht bei der frage.
min gibt es net, da der Wert gegen null geht, und es immer kleinereren wert gibt. 0 wird nicht erreicht, 0 wäre aber inf, wenn 0 in N liegen würde, was es ja nicht tut ;)
Kleiner Denkfehler:
N bezieht sich nur auf die Variablen, die man in den Term einsetzen muß, durch den M definiert ist. M ist also die Menge aller Werte, die durch Einsetzen beliebiger m und n aus N in den Term m*n/e^(m+n) entstehen können. Eine Teilmenge von M ist also z. B. folgende:

{1/e^2, 2/e^3, 3/e^4, 4/e^4, 6/e^5}

Die Menge M (deren inf, sup, min und max ja bestimmt werden soll) enthält also durchaus Elemente, die nicht aus N sind. (Es sind sogar ALLE Elemente von M nicht in N enthalten. Aber das nur am Rande.)

Das Infimum von M kann daher also 0 sein (und ist es auch!).

HTH,
Joachim
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KreiS

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11

Thursday, April 11th 2002, 11:07pm

ah ok (danke :) )
jetzt die dumme frage, warum kann sup M = max M sein ? ich glaube ich muss nach lesen wie das gemeint ist. Sonst ok, ist klar warum inf M = 0 ist.
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12

Thursday, April 11th 2002, 11:32pm

Quoted

Original von KreiS
jetzt die dumme frage, warum kann sup M = max M sein ?
Wenn man sich die Definitionen anschaulich betrachtet und sich von der formalen Darstellung löst, dann ergibt sich ungefähr folgendes:

Das Maximum ist definiert als das größte Element der Menge.

Das Supremum ist definiert als der Wert, der "gerade so eben" noch in der Menge enthalten ist (also das Maximum) oder "gerade so eben" nicht (also der kleinste Wert, der größer als *alle* Elemente der Menge ist).

Beispiele:
A = [1, 4]
sup A = max A = 4
(da 4 das größte Element von A ist)

B = [1, 4[
sup B = 4
(da 4 nicht in B enthalten ist, aber es keinen kleineren Wert "zwischen" B und 4 gibt, der auch nicht in B enthalten ist)
max B existiert nicht.
(da es kein "größtes" Element in B gibt)

PS: Diese Definitionen sind so natürlich weder besonders schön und vollständig korrekt, daher definiert man das normalerweise formal. ;)
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