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FSW16

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Monday, June 7th 2010, 5:31pm

Frage zu ET-Aufgabe(Mathemathische Grundlagen)

Hallo,
ich bin gerade dabei die Übungsblätter von ET durchzuarbeiten und ich stoße leider schon beim ersten Übungsblatt auf große Probleme, bei dem ich irgendwie nicht weiter weiß. Auch nach mehreren Stunden surfen im Internet bin ich zu keinem richtigen Ergebnis gekommen, sondern bin noch verwirrter als davor :(



Und zwar folgende Aufgabe schaffe ich nicht zu lösen:

Man berechne mittels Doppelintegral den Flächeninhalt F des Kreises K vom Radius R.

Lösung ist natürlich: Pi * R^2, aber leider ist der Lösungsweg nicht angegeben und ich weiß noch nicht mal wie ich anfangen soll, da ja auch keine Funktion f(x,y) gegeben ist wie bei anderen Doppelintegralen.

Deswegen wäre ich dankbar für Hilfe

MfG FSW

bf_15b35

Praktikant

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2

Monday, June 7th 2010, 7:59pm

Hi,

das geht am besten, indem man den Kreis in der Parameterdarstellung aufschreibt:

x=r*cos(ß)
y=r*sin(ß)

x^->=(r*cos(ß); r*sin(ß))

Nun brauchen wir das Flächenelement und dafür die Funktionaldeterminante:

dA=det [ d(x,y)/(d(r,ß)) ] dr dß

d(x,y)/(d(r,ß))=[cos(ß) -r*sin(ß);sin(ß) r*cos(ß)]

Also :

det[...] =r*cos²(ß)+r*sin²(ß)=r

Somit ergibt sich:

dA=r dr dß

Damit können wir die Fläche eines Kreises mit dem Radius R berechnen:

A=∫∫ r dr dß

wobei das erste ∫ die Grenzen 0 -> 2pi und das zweite ∫ die Grenzen 0->R hat.

Dann ergibt sich : A=R²*pi

Edit: Kleine Text-Verbesserung

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FSW16

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3

Monday, June 7th 2010, 8:16pm

Vielen Dank für diese ausführliche Antwort... glaube das sollte mir mehr als helfen...

MfG FSW

bf_15b35

Praktikant

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4

Monday, June 7th 2010, 8:18pm

Falls doch noch etwas unklar sein sollte, schreib ruhig nochmal.

Helicase

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5

Monday, June 7th 2010, 11:33pm

Eine kleine Zusatzinfo.
Für das Verständis find ich es sehr schön wenn man sich das alles anschaut. Für die Etechnik Klausur reicht es am Ende aber aus, wenn man das Integral berechnen kann. Bisher war nie gefordert eine Funktionalderminante in der Klausur zu berechnen. Dies darf man auch gerne als "wissen" mit in die Klausur nehmen (zur Not schreibt man sich die Funktionaldeterminanten für einen Kreis / Kugel .. Zylinder :P auf das Blatt das man mitnehmen darf, spart auch Zeit und verrechnet sich nicht ;) ).

FSW16

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6

Tuesday, June 8th 2010, 11:09am

Bin das jetzt nochmal in Ruhe durchgegangen und habe das auch soweit verstanden, aber zu folgender Zeile würde ich gerne noch die Bestätigung, dass ich das richtig verstanden habe.

x^->=(r*cos(ß); r*sin(ß))


x^ soll doch bestimmt für "x dach" stehen und den Vektor darstellen der die Funktion/Kreis beschreibt oder?

Danke FSW

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bf_15b35

Praktikant

  • "bf_15b35" is male

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7

Tuesday, June 8th 2010, 2:57pm

Ja, genau. Das soll den Vektor x darstellen.

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8

Tuesday, June 8th 2010, 7:45pm

Ja, genau. Das soll den Vektor x darstellen.

An dieser Stelle möchte ich noch mal auf die TeX- bzw. LaTeX-Funktion in unserem Forum hinweisen. ;)

Source code

1
[tex]\hat x[/tex]

wird zum Beispiel zu


Siehe auch folgender Sticky im Tech Talk Forum: LaTeX-Unterstützung im Forum! ;)

brent

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Tuesday, June 8th 2010, 8:32pm

in polarkoordinaten ist es extrem einfach:
infinitesimal kleines flächenelement ist beim Kreis nur abhängig von r und winkel.




Für die Gesamtfläche müssen alle dAs aufsummiert werden, also über radius R und winkel 2π integrieren:



latex kann man sich hier ziemlich leicht angewöhnen: http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

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