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Andi

Praktikant

  • "Andi" started this thread

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1

Saturday, November 30th 2002, 2:59pm

Stochastik A, 6.Übung, Aufgabe 33

Soweit ich das verstanden habe, steht in der Aufgabe, dass
<FONT FACE=Symbol>&#242;</FONT>e<SUP>-bx&sup2</SUP> = 1/2*sqrt(<FONT FACE=Symbol>p</FONT>/b) sich irgendwie hervorragend für die Bestimmung von <FONT FACE=Symbol>&#242;</FONT>ax&sup2e<SUP>-bx&sup2</SUP> verwenden liesse.
Nur komme ich nicht drauf wie ?( . Also falls jemand einen Tipp hat... ich wäre dankbar

compost

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  • "compost" is male

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2

Saturday, November 30th 2002, 4:25pm

hi!

also ich habe eine normalverteilung genommen mit mü=0 und sigma = sqrt(1/b) und dann fröhlich integriert und bin dann tatsächlich auf das ergebnis gekommen. allerdings nur wenn ich bei der normverteilung das 1/ (sqrt(2pi)*sigma) weglasse. ob das so ganz korrekt ist....daran zweifle ich im moment noch. aber es kommt wie gesagt das zwischenergebnis heraus. wie es dann weitergeht wüsste ich allerdings auch gerne. man muss doch "nur" das integral vun ax² * exp(-b*x²) in den grenzen von 0 bis unendlich ausrechnen oder? kann man die grenzen da auch ändern. das unendlich stört mich ziemlich...


gruss Jens

  • "Joachim" is male

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3

Saturday, November 30th 2002, 6:38pm

Quoted

Original von compost
also ich habe eine normalverteilung genommen mit mü=0 und sigma = sqrt(1/b) und dann fröhlich integriert und bin dann tatsächlich auf das ergebnis gekommen. allerdings nur wenn ich bei der normverteilung das 1/ (sqrt(2pi)*sigma) weglasse.
Das darf man natürlich nicht einfach weglassen. Probier's mal mit (mu, sigma) = (0, 1/sqrt(2b)). Dann läßt sich einiges kürzen und man kann das recht einfach integrieren.

Quoted

wie es dann weitergeht wüsste ich allerdings auch gerne. man muss doch "nur" das integral vun ax² * exp(-b*x²) in den grenzen von 0 bis unendlich ausrechnen oder?
Genau.

Quoted

kann man die grenzen da auch ändern. das unendlich stört mich ziemlich...
Die Grenzen darf man nicht ändern, da man ja sonst ein anderes Integral bestimmen würde.

Man kann das Integral mit Hilfe der partiellen Integration berechnen. Auf diese Weise läßt sich das nämlich auf das vorher ausgerechnete Integral zurückführen. Und das läßt sich dann in der Tat hervorragend verwenden.
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Richard Hamming, 1962

compost

Trainee

  • "compost" is male

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4

Sunday, December 1st 2002, 12:16pm

okay. das klappt alles soweit sehr gut. danke schon mal. aber bei der partiellen integration komme ich auf:


ax² * sqrt(pi/b) / 2 - sqrt(pi) * a /b * [ x² / 2 ] = 1

und x² / 2 in den grenzen von 0 bis unendlich. aber damit kann ich doch nicht weiterrechnen....

cowhen

Muuuh!

  • "cowhen" is male

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5

Sunday, December 1st 2002, 12:59pm

ergebnisse

ich habe raus:
34a) 1/2
34b) 1/5


edit: joachim hat mir auf die sprünge geholfen ich habe jetz:
a) unif(0,1/2)
b) 2*1/5 (das kürzere stück kann ja auf beiden sieten sein)
thx.


kann das jemand bestätigen?

thx

cowhen
plenty of time to relax when you are dead

  • "Joachim" is male

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6

Sunday, December 1st 2002, 1:43pm

Quoted

Original von compost
okay. das klappt alles soweit sehr gut. danke schon mal. aber bei der partiellen integration komme ich auf:


ax² * sqrt(pi/b) / 2 - sqrt(pi) * a /b * [ x² / 2 ] = 1

und x² / 2 in den grenzen von 0 bis unendlich. aber damit kann ich doch nicht weiterrechnen....
Da hast du irgendwo einen Fehler beim Integrieren gemacht.


Hint:

ax^2 * exp(-bx^2)
= ax * (-1)/(2b) * (-2bx) * exp(-bx^2)
= ax * (-1)/(2b) * (exp(-bx^2))'
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MAX

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  • "MAX" is male

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7

Sunday, December 1st 2002, 6:43pm

Aufgabe 33

Ich verstehe irgendwie diesen Hinweis nicht! In der schwarzen Formelsammlung S.113 steht das Integral schon. Warum soll ich da mich mit Normalverteilung rumschlagen??? Ausserdem, wenn ich m=0 und sigma=1/sqrt(2b) setze, wie ich mir auch zuerst gedacht habe, dann kürzt sich alles raus und am ende steht dann nur 1/2. Was soll das jetzt??? Wie soll man da rechnen???
mfg
MAX

PS: total verwirrt!

  • "Joachim" is male

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8

Sunday, December 1st 2002, 6:55pm

Quoted

Original von MAX
Ich verstehe irgendwie diesen Hinweis nicht! In der schwarzen Formelsammlung S.113 steht das Integral schon. Warum soll ich da mich mit Normalverteilung rumschlagen???
Weil das die Aufgabe so vorsieht. In der Formelsammlung nachzuschlagen, wäre doch etwas *zu* einfach ...

Quoted

Ausserdem, wenn ich m=0 und sigma=1/sqrt(2b) setze, wie ich mir auch zuerst gedacht habe, dann kürzt sich alles raus und am ende steht dann nur 1/2. Was soll das jetzt??? Wie soll man da rechnen???
Keine Ahnung, was du damit meinst ... ?( *Wo* steht denn dann 1/2?

Wenn man den im Hinweis beschriebenen Weg über die Normalverteilung geht, kann man ohne große Mühe das bestimmte Integral von exp(-bx^2) in den Grenzen von 0 bis Unendlich berechnen.

Und das kann man dann bei der (partiellen) Integration von f gebrauchen (siehe mein Hinweis).
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Informatik Minister

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  • "Informatik Minister" is male

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9

Sunday, December 1st 2002, 6:57pm

Quoted

Original von MAX
Warum soll ich da mich mit Normalverteilung rumschlagen??? Ausserdem, wenn ich m=0 und sigma=1/sqrt(2b) setze, wie ich mir auch zuerst gedacht habe, dann kürzt sich alles raus und am ende steht dann nur 1/2. Was soll das jetzt??? Wie soll man da rechnen???


Der Hinweis ist einfach ein vorhergehender Schritt, damit man am Ende mit dem Integral klarkommt.
Das Integral steht in der Formelsammlung (325), aber ich glaube nicht, dass es der Sinn und Zweck der Aufgabe ist, dass du das nachschlägst.
Du verifizierst den Hinweis mit der Normalverteilung, stellst das Integral auf und rechnest (mit Joachims für mich anfangs völlig aus der Luft gegriffener Umformung) das angegebene Ergebnis aus.

@Joachim
Es ist doch so, dass der Term der partiellen Integration, der "ohne Integral steht" wegfällt, da x -> unendlich läuft, damit die Verteilungsfunktion = 1 ist, oder?

@Joachim, die Zweite
Zu deiner Umformung:
Kann man auch ohne zum Ergebnis kommen, also wenn man die Formel so lässt, partiell integriert und freudig aufs Papier guckt, sieht man sich schnell durch ein ax² verdutzt, in das man "unendlich" als Grenze einsetzen muss. Solch geschickten, vorausschauenden Umformungen verbergen sich auf mathematischer Ebene bis jetzt meinem Gehirn.
"Fliegenpilze! Löwen!! Das Leben ist gefährlich." -- www.katzundgoldt.de

  • "Joachim" is male

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10

Sunday, December 1st 2002, 7:07pm

Quoted

Original von Informatik Minister
@Joachim
Es ist doch so, dass der Term der partiellen Integration, der "ohne Integral steht" wegfällt, da x -> unendlich läuft, damit die Verteilungsfunktion = 1 ist, oder?
Für den "Summanden ohne Integral" muß man aber noch die Grenzen einsetzen (wie z. B. auf Seite 304 im Repetitorium). Dann kommt man über eine Grenzwertbetrachtung zu dem von dir genannten Ergebnis.

Quoted

@Joachim, die Zweite
Zu deiner Umformung:
Kann man auch ohne zum Ergebnis kommen, also wenn man die Formel so lässt, partiell integriert und freudig aufs Papier guckt, sieht man sich schnell durch ein ax² verdutzt, in das man "unendlich" als Grenze einsetzen muss. Solch geschickten, vorausschauenden Umformungen verbergen sich auf mathematischer Ebene bis jetzt meinem Gehirn.
Das Problem hatte ich zuerst auch. Irgendwann habe ich mir dann aber mal die Ableitung des Integrals aus dem Hinweis näher angesehen... Die o. g. partielle Integration scheint der einzige (vernünftige) Weg zu sein, der zum Ziel führt. Ich wüßte zumindest keinen anderen.
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Richard Hamming, 1962

MAX

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11

Sunday, December 1st 2002, 7:24pm

irgendwie ist das alles zu blöd für mich

Für m=0 und sigma=1/sqrt(2b), habe ich dann für Normalverteilung: Integral_von_0_bis_unendlich(sqrt(b/pi) * exp(-b*x^2) dx.
So!!! Und dann habe ich wieder schon die blöde e-Funktion und kann nicht einfach so integrieren. Was mache ich falsch bei dieser Aufgabe???
mfg
MAX

spehler62

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12

Sunday, December 1st 2002, 9:11pm

Quoted

Integral_von_0_bis_unendlich(sqrt(b/pi) * exp(-b*x^2) dx


Das ist doch schon sehr gut. Nun mußt du noch das ganze "1" setzen und nach Integral_von_0_bis_unendlich( exp(-b*x^2) dx umformen, d.h. Konstante (sqrt(b/pi)) vorziehen etc.
Fertig

Ciao, spehler
"Ein Mann, der Kinder und Hunde hasst, kann nicht durch und durch schlecht sein." W.C.Fields

MAX

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  • "MAX" is male

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13

Sunday, December 1st 2002, 9:46pm

ach soooo

Ich dachte, man muss das Integral selbts lösen, na dann....
Vielen Dank!!!
mfg
MAX

compost

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  • "compost" is male

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14

Monday, December 2nd 2002, 4:57pm

von cowhen

Quoted


edit: joachim hat mir auf die sprünge geholfen ich habe jetz: a) unif(0,1/2) b) 2*1/5 (das kürzere stück kann ja auf beiden sieten sein) thx.


ich hätte jetzt gesagt dass bei 34a) auch 2* unif(0,1/2) hin muss weil Y im Bereich von 0 - 1/2 liegen kann und im Bereich von 1/2 - 1. Nimmt dabei zwar die gleichen Werte an, aber deswegen dachte ich muss da ein 2* davor?


  • "Joachim" is male

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15

Monday, December 2nd 2002, 6:34pm

Quoted

Original von compost
ich hätte jetzt gesagt dass bei 34a) auch 2* unif(0,1/2) hin muss weil Y im Bereich von 0 - 1/2 liegen kann und im Bereich von 1/2 - 1. Nimmt dabei zwar die gleichen Werte an, aber deswegen dachte ich muss da ein 2* davor?
Das kann nicht sein, weil für die zugehörige Verteilungfunktion F_Y dann nämlich gilt:

F_Y(y) = 2 * (2x) = 4x

Und eine Verteilungsfunktion darf keinen Wert größer 1 annehmen, was dieses F_Y aber z. B. für x = 1/2 täte.
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spehler62

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16

Monday, December 2nd 2002, 7:05pm

@MAX

Hoffe du hast die 2 vor dem Integral_0_bis_unendlich nicht vergessen, hatte ich nämlich in der eile übersehen. Die 2 wird dann zur 1/2.
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MAX

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  • "MAX" is male

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17

Monday, December 2nd 2002, 8:28pm

Ja, Danke!!!

@spehler62
Danke für deinen Hinweis! Ich habe die Aufgabe schon gelöst. Vorher saß ich die ganze Zeit da und wusste nicht, was zu tun ist. Danach ist mir aber alles klar geworden!!!
mfg
MAX

absynth

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18

Tuesday, December 3rd 2002, 4:55pm

Quoted

Original von Joachim
Probier's mal mit (mu, sigma) = (0, 1/sqrt(2b)). Dann läßt sich einiges kürzen und man kann das recht einfach integrieren.


Eine bescheidene Frage: Wie kommt man darauf?
Kann ich einfach sagen "ich nehme jetzt die und die Verteilung" oder wie leitest Du das her?

--ck
I refuse to submit
To the god you say is kind
I know what's right, and it is time
It's time to fight, and free our minds
http://www.christopher-kunz.de/

  • "Joachim" is male

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19

Tuesday, December 3rd 2002, 6:54pm

Quoted

Original von absynth

Quoted

Original von Joachim
Probier's mal mit (mu, sigma) = (0, 1/sqrt(2b)). Dann läßt sich einiges kürzen und man kann das recht einfach integrieren.


Eine bescheidene Frage: Wie kommt man darauf?
Kann ich einfach sagen "ich nehme jetzt die und die Verteilung" oder wie leitest Du das her?
Wir wissen ja, wo wir hinwollen. Nämlich zu einem Term, der unter anderem exp(-bx^2) enthält.

Und wenn man sich nun die Dichtefunktion der Normalverteilung anschaut, wird schnell klar, wie man mu und sigma wählen muß, um (-bx^2) im Exponenten zu erhalten ...
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Richard Hamming, 1962