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MAX

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1

04.02.2003, 20:13

Siebformel

Kann mir jemand erklären, wie man die Siebformel benutzt. Ich komme mit den Indizien unter der zweiten Summe nicht klar. Wo soll ich da anfangen??? Wie läuft die Summe genau??? (Beispiel)
Ubnd noch eins: Was hat denn die Siebformel mit der Aufgabe 11b zu tun??? Wie erkennt man sowas???
mfg
MAX

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2

04.02.2003, 20:48

Zitat

Original von MAX
Kann mir jemand erklären, wie man die Siebformel benutzt. Ich komme mit den Indizien unter der zweiten Summe nicht klar. Wo soll ich da anfangen??? Wie läuft die Summe genau??? (Beispiel)
Sei M := {1, 2, ..., n}. In der inneren (= zweiten) Summe wird über alle k-elementigen Teilmengen von M summiert (das k stammt aus der äußeren Summe).


Beispiel für A1, A2, A3, A4:

P(A1 u A2 u A3 u A4) =

(-1)^0 * (P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4))
+
(-1)^1 * (P(A1 n A2) + P(A1 n A3) + P(A1 n A4) + P(A2 n A3) + P(A2 n A4) + P(A3 n A4))
+
(-1)^2 * (P(A1 n A2 n A3) + P(A1 n A2 n A4) + P(A1 n A3 n A4) + P(A2 n A3 n A4))
+
(-1)^3 * P(A1 n A2 n A3 n A4)

Zitat

Ubnd noch eins: Was hat denn die Siebformel mit der Aufgabe 11b zu tun??? Wie erkennt man sowas???
Keine Ahnung, ich habe es auch nicht gesehen (die Musterlösung kann ich zwar nachvollziehen, finde den dort verwendeten Lösungsweg aber alles andere als offensichtlich). Aber ich denke/schätze/hoffe mal, daß "Extreme Siebformeling" kein Klausurthema sein wird.
The purpose of computing is insight, not numbers.
Richard Hamming, 1962

cowhen

Muuuh!

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3

04.02.2003, 21:00

siebformel @max

Die erste Summe gibt das Vorzeichen der Durchschnitte, die sich durch die zweite Summe ergeben, an.

Bsp: n =3:

1. Durchlauf (K=1) liefert:
+P(A1) + P(A2) + P(A3)

2. Durchlauf (K=2) liefert:
-P(A1 geschnitten A2) -P(A1 geschnitten A3) -P(A2 geschnitten A3)

2. Durchlauf (K=3) liefert:
+P(A1 geschnitten A2 geschnitten A3)

also insgesammt:

= p(A1) + P(A2) + p(A3) -P(A1 geschnitten A2) -P(A1 geschnitten A3) -P(A2 geschnitten A3) P(A1 geschnitten A2 geschnitten A3)


mfg

cowhen
PS: 8o Ops, Joachim war wieder schneller!
plenty of time to relax when you are dead

MAX

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4

04.02.2003, 21:17

thx

Danke!!! Habe jetzt kapiert!
mfg
MAX

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5

05.02.2003, 12:19

Aufgabe 20

In der Übung wurde folgendes aufgeschrieben:
P("Kandidat gewinnt Auto") = P[(T1 und A)+(T2 und A^c)+(T3 und A^c)] = P(T1 und A) + P(T2 und A^c) + P(T3 und A^c)

Wenn ich aber die Siebformel darauf anwende, kommt bei mir raus:
... = P(T1 und A) + P(T2 und A^c) + P(T3 und A^c) - P(T1 und A und T2 und A^c) - (T1 und A und T3 und A^c) - (T2 und A^c und T3 und A^c) + (T1 und A und T2 und A^c und T3 und A^c)

Ich vermute, wegen P(A und A^c) = 0, kann man dan wie folgt vereinfachen:
.. = P(T1 und A) + P(T2 und A^c) + P(T3 und A^c) - (T2 und A^c und T3 und A^c)

Ja, das ist aber jetzt was anderes was in der Übung aufgeschrieben wurde. Oder kann man das jetzt weiter vereinfachen??? Und wie??? Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler gemacht?
mfg
MAX

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6

05.02.2003, 12:47

Zitat

Original von MAX
In der Übung wurde folgendes aufgeschrieben:
P("Kandidat gewinnt Auto") = P[(T1 und A)+(T2 und A^c)+(T3 und A^c)] = P(T1 und A) + P(T2 und A^c) + P(T3 und A^c)

Wenn ich aber die Siebformel darauf anwende, kommt bei mir raus:
... = P(T1 und A) + P(T2 und A^c) + P(T3 und A^c) - P(T1 und A und T2 und A^c) - (T1 und A und T3 und A^c) - (T2 und A^c und T3 und A^c) + (T1 und A und T2 und A^c und T3 und A^c
Da fehlen noch ein paar Ps, aber davon abgesehen ist das soweit richtig.

Ich weiß zwar nicht, wieso Du hier die Siebformel anwendest, aber das kann man jetzt vereinfachen zu:

P(T1 und A) + P(T2 und A^c) + P(T3 und A^c)

Grund:
T1, T2 und T3 sind disjunkte Ereignisse, daher beschreiben (T1 n T2), (T1 n T3) sowie (T2 n T3) die leere Menge. Alle weiteren Summanden der Siebformel sind demzufolge gleich Null.
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MAX

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05.02.2003, 13:34

achso....

Wenn Ti, i = 1,2,3, disjunkte Mengen sind, dann müsste das auch für die Siebformel stimmen, aber so ist es natürlich einfacher. Ich bin jetzt nicht darauf gekommen und nicht daran gedacht, dass das disjunkte Mengen sein können, obwohl es eigentlich klar ist.
Danke!
mfg
MAX