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Arne

ThI

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1

06.02.2003, 23:04

Integration durch Substitution - Aufgabe

Man soll
f(x)=1/(9+3cos(x)) mit hilfe der Substitution integrieren.
t=tan(x/2) vorgegeben.

Ich glaube das mit der Standardsubstitution verstanden zu haben, jedoch stehe ich selbst bei dem Lösungsweg vor einigen Ungerheimtheiten:

dx=2dt/(1+t²) warum?
ich habe dx=(cos(x)+1)dt

und wieso ist cos(x)=(1-t²)/(1+t²) ??

die beiden sachen erschließen sich mir überhaupt nicht :(
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  • »Joachim« ist männlich

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2

06.02.2003, 23:25

Zitat

Original von vier
Man soll
f(x)=1/(9+3cos(x)) mit hilfe der Substitution integrieren.
t=tan(x/2) vorgegeben.

Ich glaube das mit der Standardsubstitution verstanden zu haben, jedoch stehe ich selbst bei dem Lösungsweg vor einigen Ungerheimtheiten:

dx=2dt/(1+t²) warum?
t=tan(x/2)
=> x = 2 * arctan(t)

Ableiten:
dx = 2 * 1 / (1 + t^2) dt (die Ableitung von arctan(t) ist 1 / (1 + t^2))

Zitat

und wieso ist cos(x)=(1-t²)/(1+t²) ??
cos(x)
= cos^2(x/2) - sin^2(x/2) (Additionstheorem)
= (cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) / (cos^2(x/2) + sin^2(x/2)) (der Nenner ist gleich 1)
= (1 - tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2)) (Zähler und Nenner durch cos^2(x/2) teilen)
= (1 - t^2) / (1 + t^2) (Einfach t einsetzen)

Für den Sinus geht das analog.
The purpose of computing is insight, not numbers.
Richard Hamming, 1962