Original von vier
Man soll
f(x)=1/(9+3cos(x)) mit hilfe der Substitution integrieren.
t=tan(x/2) vorgegeben.
Ich glaube das mit der Standardsubstitution verstanden zu haben, jedoch stehe ich selbst bei dem Lösungsweg vor einigen Ungerheimtheiten:
dx=2dt/(1+t²) warum?
t=tan(x/2)
=> x = 2 * arctan(t)
Ableiten:
dx = 2 * 1 / (1 + t^2) dt (die Ableitung von arctan(t) ist 1 / (1 + t^2))
und wieso ist cos(x)=(1-t²)/(1+t²) ??
cos(x)
= cos^2(x/2) - sin^2(x/2) (Additionstheorem)
= (cos^2(x/2) - sin^2(x/2)) / (cos^2(x/2) + sin^2(x/2)) (der Nenner ist gleich 1)
= (1 - tan^2(x/2)) / (1 + tan^2(x/2)) (Zähler und Nenner durch cos^2(x/2) teilen)
= (1 - t^2) / (1 + t^2) (Einfach t einsetzen)
Für den Sinus geht das analog.