Interpolations Aufgabe

Arne

ThI

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1

Saturday, February 8th 2003, 3:28pm

f(x)=(e^(-x)-1)²

man soll nun ein Polynom h(x) 3. Grades finden, dass in x=0 mit f(x) und den 3 Ableitungen übereinstimmt.

f(0)=0
f'(0)=0
f"(0)=ln2
f'"(0)=ln4=2ln2

h(x)=ax³+bx²+cx+d => d=0
h'(x)=3ax²+2bx+c => c=0
h"(x)=6ax+2b => b= 1/2*ln2
h'"(x)=6a => a=1/3*ln2

wenn ich daraus nun h(x)=1/3*ln2*x³+1/2*ln2*x² mache, stimmt die funktion mit f(x) überall überein außer in der zweiten ableitung f", da ist sie nämlich =-1/2... jemand eine idee? ich seh meinen fehler nicht

"NP - The class of dashed hopes and idle dreams." Complexity Zoo

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Joachim

Guru

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2

Saturday, February 8th 2003, 4:20pm

Quoted

Original von vier
f(x)=(e^(-x)-1)²

man soll nun ein Polynom h(x) 3. Grades finden, dass in x=0 mit f(x) und den 3 Ableitungen übereinstimmt.

Du hast dich bei den Ableitungen von f verrechnet. Es gilt:

f(x) = (exp(-x) - 1)^2 = exp(-2x) - 2*exp(-x) + 1
f'(x) = -2*exp(-2x) + 2*exp(-x)
f''(x) = 4*exp(-2x) - 2*exp(-x)
f'''(x) = -8*exp(-2x) + 2*exp(-x)

Daraus ergibt sich:

f(0) = 0
f'(0) = 0
f''(0) = 2
f'''(0) = -6

Das Zusammenbasteln der gesuchten Polynomfunktion h ist dann nicht mehr allzu schwer:

h(x) = x^2 - x^3

The purpose of computing is insight, not numbers.

– Richard Hamming, 1962