Fachrat Informatik - Forum

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Original von Johnny Blaze
Hab heute die ganzen alten Aufgaben nochmal gerechnet, bin aber bei 4 hängen geblieben, kann mir jemand bitte sagen was ich da genau machen muß?
Man sieht ja, dass der erste Vektor aus U1 sich aus dem zweiten + 2mal dem dritten herstellen läßt, aber wie bekommt man das rechnerisch raus?

Gleichungssystem aufstellen und lösen:

a*(x^3+2x^2+1) + b*(x^3-1) + c*(x^2+1) = 0

Nach x^n umformen:

x^3*(a+b) + x^2*(2a+c) + a - b + c = 0

Wegen linearer Unabhängigkeit der x^n-Größen ergibt sich ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen, das gelöst werden kann...

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Wie gehts dann weiter?

Welcher Aufgabenteil? Ein wenig konkreter müßtest du schon werden...

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Original von Johnny Blaze
Soweit war ich ehrlich gesagt auch schon, hab dann folgendes GS:

1 -1 1 0
1 1 0 0
2 0 1 0

Daraus dann:

1 -1 1 0
0 -2 0 0
0 -2 2 0

Daraus folgt dann doch: b=0 -> c=0 ->a=0,
also l.u., was aber nicht stimmt, oder? Was mach ich falsch?

Die Ausgangsmatrix ist richtig, du hast dich bei der Transformation derselben aber verrechnet. Kontrollier' das nochmal.

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Basis von U1 ist doch {(x³-1),(x²+1)}? Muß ich da noch z.B. x und 1 ergänzen, um eine Basis des P3 zu erhalten? Ist die Dimension dann 2 oder 4?

Diese Basis ist eine mögliche. Genauso wäre z. B. auch {(x^3-1), (x^3+2x^2+1)} denkbar - das aber nur nebenbei...
Mit der Ergänzung zu P_3 liegst du richtig. Die Dimension der P_3 ist (3+1) = 4 (siehe Beispiel 10.6 der Vorlesung).

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Wie rechnet man dann U2 span U1uU2 und U1/\U2 aus?

U2 muß man nicht erst großartig ausrechnen, da die beiden beiden Polynome, die U_2 aufspannen, linear unabhängig sind. Die Basis ist damit klar, daß die Dimension 2 ist, dann wohl auch.


U_1 n U_2 berechnet man, indem man die Linearkombinationen der Basen von U_1 und U_2 gleichsetzt:
a*(x^2-1) + b*(x^2+1) = c*(2x^3+3x^2+1) + d*(x^3+2x^2)
Das kann man dann genauso wie oben auflösen und unter Ausnutzung der linearen Unabhängigkeit von x^3, x^2 usw. in ein neues Gleichungssystem (bzw. Matrix) zur Bestimmung von a, b, c und d umwandeln.
So bekommt man dann z. B. raus, daß d=0 und die restlichen Größen voneinander abhängen.
Bezogen auf die Ausgangsgleichung bedeutet das: Ich kann auf der rechten Seite (d ist dann natürlich 0) ein beliebiges c einsetzen (und damit ein Polynom der gesuchten Schnittmenge erzeugen) und finde auf der linken Seite immer ein a und b, die diese Gleichung erfüllen. D. h., daß ich alle Polynome die ich so auf der rechten Seite erzeugen kann, auch auf der linken Seite erzeugen (und zwar nur diese!). Die Schnittmenge ist dann also span{(2x^3+3x^2+1)}. Hoffe, das ist einigermaßen klar geworden; ist sehr schwer zu erklären...


span(U_1 u U_2) ist span{(x^2-1), (x^2+1), (x^3+3x^2+1), (x^3+2x^2)}, da span(U_1 u U_2) die beliebige Linearkombination aller Polynome aus U_1 und U_2 ist. Das kann man auch mathematisch herleiten, ist aber etwas länger... Den o. g. span muß man dann natürlich noch kürzen, bis man die (dreielementige) Basis erhält.

HTH,
Joachim

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Original von Johnny Blaze
hab das mit Lemma 4.1 gerechnet, hab dann für
x'=(-7,-2,0) raus, der Abstand wär dann |10,5,0|=Wurzel von 125, ist aber falsch, oder ? Was hast Du raus?

Ist wahrscheinlich falsch.
Ich (und ein paar andere übrigens auch) habe als Abstand Wurzel 70 raus, der Lotfußpunkt ist (-3, 0, 6)).

Wie komme ich da drauf? Also:
Ich habe das ganz ohne irgendwelche Vektorkonstrukte gemacht (da ich mich dabei andauernd verrechne ). Zuerst habe ich eine Funktion d aufstellt, die in Abhängigkeit des Parameters der Gerade (x von mir aus) den Abstand zum Punkt angibt:

d(x) = | (-5, -1, 3) + x*(2, 1, 3) - (3, 3, 1) |
( |...| sei dabei der Betrag)

Das kann man dann umformen zu:

d(x) = sqrt(14)*sqrt(x^2-2x+6)

Das Minimum dieser Funktion ist also der gesuchte Abstand. Mit dem x, das zu diesem Minimum gehört, kann man dann durch Einsetzen in die Geradengleichung den Lotfußpunkt bestimmen.

Wie bestimmt man nun das Minimum? Klar! Ableiten und Extremum bestimmen. Gesagt, getan - für x ergibt sich dann 1, da der Zähler der Ableitung (und nur der ist ja für die Nullstellensuche in der Ableitung interessant) dann 0 ist.



So. Ich fahre jetzt erstmal zum Fußballtraining (der Winterspeck muß runter). Falls du noch Fragen haben solltest, kannst du mich ab 22 Uhr hier wieder antreffen.

aufgabe 5 von dem zettel

da sind doch x2, x5 und x6 parameter oder?
und ergebnis hab ich da durch flüchtiges rumrechnen

x = (-1,0,2,3,0,0) + x5 (0,0,-1,-4,1,0) + x6 (0,0,-1,-2,0,1)

richtig?
müsste...könnte
prof. ebeling hat die nicht durchgerechnet....
doc wille scheinbar schon

is ja an sich nicht schwer...eigentlich überhauptnich

is auch nur meine paranoia, die mich in dies forum treibt

nochmal also...klar, die x2 spalte hab ich nich vergessen
ZSF müsste stimmen

danach müsst also nen kleiner fehler sein
ich danke und rechne nach

ebeling hat 1,2,3,6 und minimal 4 gemacht
5 als klar betitelt (müsste auch so sein...an sich ja nix spektakuläres)

schau


PS: je me lach mich aus...x3 statt x4 bei x1 benutzt....*böller*

wie wärs mal mit nem kleinen Besuch auf

links zum Üben??

mit dem WIMAT kann man alles super nachvollziehen im Demonstration mode...

hi,

die ergebnisse, die joachim für aufgabe 1 raus hat sind mit 99,9 %-iger wahrscheinlichkeit richtig, weil:

1) ebeling hat das auch raus gehabt (+99,7%)
2) ich hab das auch raus (+0,2%)



auf seite 49 der schwarzen formelsammlung gibt es ein paar tooooole formeln, mit denen man lotfusspkt und abstand ausrechen kann.


mfg

cowhen

ebeling (+200%)
du (-100,1%) *hüstl* ich sah nur die 99,7

prost mahlzeit

@ johnny

du müsstest dich aber beim abschreiben vertan haben
bei lambda3 dürfte keine 1 als faktor von x2 stehen...kommt da ja gar nich vor
x2 is ja durchgängig null, steht also nirgends (bei den anderen x-komponenten) als parameter

also lambda3(1,0,-1,-2,0,1)

das schwarze buch mit wille als ko-autor

seite 49

oder repetitorium um seite 145-160

oder so

alles zu punkt-geraden-ebenen beziehungen

aber sollt man schon zur zeitminimierung vorher vertraut mit gemacht haben

Quoted

ebeling (+200%)
du (-100,3%)

200%-100,3% = 99,7% ist ungleich den von mir angegebenen 99,9%.
hoffenlich rechnest du morgen besser.

wenn schon dann wenigstens richtig...

cu

cowhen *derheuteallesganzgenaunimmt*