Fachrat Informatik - Forum

Hi,
nur damit ich sicher bin es richtig verstanden zu haben:
Handelt es sich bei der kanonischen Basis um die Basis bestehend aus den Einheitsvektoren, ergo Basis E, also die Basis die man normalerweise immer benutzt hat?

Dank im Voraus

Danke für die schnelle Antwort, ich wußte doch, dass ich ein Genie bin

Hi,
musste selbst erstmal ein wenig gucken. Wie immer alles ohne Gewähr.
Also erstmal ein wenig allgemein. Wenn du z.B.
M^B^B' (f) bestimmen sollst, so bezeichnet das die Matrix die du brauchst um: Einen Vektor der Basis B reinzupacken, ihn durch f zu verändern (z.B. Spiegelung) und den veränderten Vektor in der Basis B' herauszukriegen...Sollst du dagegen beispielsweise M^B^B' (id) bestimmen, ist das der Vektor auf den keine Veränderung durchgeführt wird. Also du fütterst die Matrix mit nem Vektro aus B und erhälts die Darstellung dieses Vektors in der Basis B'.

Und hier ist wie ich es gemacht habe (geht vielleicht auch anders):
Ich habe die im Übungsblatt B genannte kanonische Basis aufgrund besserer Lesbarkeit E genannt..


1.) f soll die Spiegelung an der Ebene ( 2 1 -1) sein.
Du bestimmst dazu mit Hilfe der bekannten Formel
(Spiegelung an einer EBENE, nicht verwechseln mit
Grade) die Abbildungsmatrix (siehe letztes
Übungsblatt bzw. Übung) Hiermit hast du gleichzeitig
auch M^E^E (f) bestimmt (auch gefordert)

2.) Je nachdem was du nun bestimmen willst: du must immer erst die 3 Vektoren der ersten Basis in Form der Basis E (also so wie sie da tastächlich stehen) mit Hilfe der aus 1.) bestimmten Abbildungsmatix verändern (Vektor mit Matrix multiplizieren) und diese zeilenweise Veränderung auf den zugehörigen Vektor in der Darstellung der zweiten Basis anwenden und tädääää, du hast die erste Spalte deiner Matrix. Das machst du mit allen drei Vektoren und bist fertig:

Und weils so kompliziert klingt, alles ncoch mal am Beispiel der ersten Teilaufgabe: M^B'^B'(f)
(Die punkte sind aufgrund nur der eher bescheidenen Formatierung da)


.....{ (1) (0) ( 2) }
B'={ (0) (1) ( 1) }
.....{ (2) , (1) , (-1) }

..(1).....(1).....( 1).....(1)
f (0) = (0) => f ( 0) = (0)
..(2)E...(2)E.....( 0)B'..(0)B'


..(0).....(0)......( 0)....(0)
f (1) = (1) => f ( 1) = (1)
..(1)E...(1)E.....( 0)B'..(0)B'



..(2).....(-2)......( 0)....( 0)
f (1) = (-1) => f ( 0) = ( 0)
.(-1)E...( 1)E.....( 1)B'..(-1)B'



Jetzt nimmst du die 3 hinteren Vektroen als Spalten deiner Matrix:

(1 0 0)
M^B'^B'(f) = (0 1 0)
(0 0 -1)

Wenn die erst und zweite Basis verschieden sind, musst du die Vektroen erst mit Hilfe eines LGS umrechnen (siehe Übung), macht das ganze aber auch nicht viel schwerer..

So, hoffe ich konnte helfen

PS: Wenn ich so ein ASCII Gefummel nochmal machen muss, kaufe ich mir endlich nen Scanner

@ Ray-D
In der Aufgabe steht: f:R^3->R^3 die Spiegelung an der durch 2x+y-z beschriebenen Ebene.

2x+y-z ist der Normalenvektro der Ebene,also:
( 2)
( 1)
(-1)

Das brauchst du nur noch in die Formel zur Spiegelung an einer Ebene einzusetzen, die wir in der Vorlesung/Übung bekommen haben:

s(x)=E - 2/ (b^T * b) *b * b^T

^T steht dabei für transponiert
b ist der eben beschrieben Normalnevektor der Ebene

Du erhälts die Abbildungsmatrix f
Willst du nun wissen was f(x) ist, multipliziere x mit f, also f*x, dann erhälts du den an der Ebene gespiegelten Vektor.

In diesem Beispiel ist es auch logisch was rauskommt, denn wenn du den Vektor (2 1 -1) spiegelst, kriegst du als Ergebnis einen Vekto rmit der umgekehrten Richtung, was ja durchaus Sinn macht.
(2 1 -1) ist ja nicht auf der Ebene (Normalenvektor eben). Die anderen beider Vektoren liegen auf der Ebene (zur Probe einsetzten), d.h. wenn man sie mit Hilfe der Ebene spiegelt, passiert nichts weiter.


@Pissteufel
Ich denke mal wenn du den Lösungsweg logisch nachvollziehbar duchrführst kann dir keinen sagen, das hätte aber anders gemacht werden sollen.


MfG Jethro