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hab mal allgemein ne frage, da die antwort aus meinen mitschriften nicht ganz deutlich wird.
also lipschitz-stetig ist
|f(x)-f(y)|=<L|x-y|

ist hölder-stetig jetzt
|f(x)-f(y)|=<L|x-y|^alpha
oder ist das gleichmässig-stetig?

und was ist dann das dritte davon?
und einfach nur stetig hatte doch was mit delta und epsilon zu tun, oder?

*total verwirrt*
HILFE!

Quoted

Original von Ray-D
also lipschitz-stetig ist
|f(x)-f(y)|=<L|x-y|
HILFE!

korrekt, genauer zusatz: es existiert ein L > 0, wobei für alle x,y aus dem Definitionsbereich obiges gilt.

Quoted

Original von Ray-D
ist hölder-stetig jetzt
|f(x)-f(y)|=<L|x-y|^alpha
oder ist das gleichmässig-stetig?
HILFE!

nein, das ist jetzt Hölder-stetig, mit dem zusatz: es existiert ein L>0 UND ein alpha > 0, wobei für alle x,y aus dem Defbereich obiges gilt.

Quoted

Original von Ray-D
und was ist dann das dritte davon?
und einfach nur stetig hatte doch was mit delta und epsilon zu tun, oder?

*total verwirrt*
HILFE!

Das dritte ist gleichmäßig stetig:
Für alle Epsilon (die es gibt) > 0, exisitert ein (zugehöriges) delta > 0, wobei zudem "delta > |x-y|" gilt und daraus soll "|f(x) - f(y)|< epsilon" folgen.

Die Beweistechnik ist hier meistens, dass man sich die epsilon Ungleichung nimmt, die Funktionen einsetzt, anschließend zb. o.B.d.A festlegt das y>x (oder auch dass so wählt, dass der y-wert immer wegfällt), sodass der Betrag halt eh positiv ist und dadurch die Betragsstriche wegfallen, folgert und dann das nach x umformt und einen ausdruck bekommt, der eben genau dieses delta ist.... hoffe das war jetzt nicht zu konfus formuliert, evtl. kann jemand anders das geschickter sagen

mir kann doch bestimmt jemand bei folgendem weiterhelfen: in übung 8 (lösung) haben wir gezeigt dass 1/x auf einem bestimmten intervall lip. stetig ist.
wir formen dazu ein bisschen um und erhalten
1/xy |y-x|.
dann stellen wir fest dass das kleiner ist als
1/a^2 |x-y|.
also da wir hier mit beträgen arbeiten können wir x und y vertauschen. aber sehe ich das richtig dass das L keine konkrete zahl sein muss (hier ist es ja ein 1/a^2) ? und wieso haben wir hier 1/a^2 gewählt? was ist a^2? ist a^2=xy ? wenn ja, warum haben wir L nicht als 1/a gewählt?

wer ana a versteht verdient den bachlor!

Quoted

Original von Ray-D
mir kann doch bestimmt jemand bei folgendem weiterhelfen: in übung 8 (lösung) haben wir gezeigt dass 1/x auf einem bestimmten intervall lip. stetig ist.
wir formen dazu ein bisschen um und erhalten
1/xy |y-x|.
dann stellen wir fest dass das kleiner ist als
1/a^2 |x-y|.
also da wir hier mit beträgen arbeiten können wir x und y vertauschen. aber sehe ich das richtig dass das L keine konkrete zahl sein muss (hier ist es ja ein 1/a^2)?

a ist durchaus eine "konkrete Zahl", da das a ja konstant ist und das Intervall definiert, auf dem die folgenden Rechnungen beruhen. a steht gewissermaßen für "eine (bzw. jede) beliebige konkrete Zahl größer als Null".

Quoted

und wieso haben wir hier 1/a^2 gewählt? was ist a^2? ist a^2=xy ? wenn ja, warum haben wir L nicht als 1/a gewählt?

a ist wie gesagt vorher durch das betrachtete Intervall gegeben.

Der Ablauf des Beweises ist in etwa folgender:
1. Wir wählen ein beliebiges (aber festes) a > 0.
2. Wir beweisen, daß f auf dem Intervall [a, inf[ gleichmäßig stetig ist.

Da Schritt 1 allgemeingültig ist und keinen Einfluß auf Schritt 2 hat, haben wir gezeigt, daß f über jedem Intervall der Form [a, inf[ mit a > 0 gleichmäßig stetig ist.

Und L = 1 / a^2 haben wir gewählt, da die Ungleichung 1 / xy <= 1 / a^2 (wegen x, y aus dem Intervall I) für beliebige x und y erfüllt ist.