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So stehts auch in der PDF Version des Übungsblattes.

Bei Aufgabe 1 ist zu zeigen, dass s(x,y) ein Skalarprodukt ist.
Dafür muss es ja eine symmetrische, postitv definite Bilinearform sein.

zu symmetrisch:
s ist symmetrisch <=> Mb(s) symmetrisch -> stimmt

zu positiv definit:
ich habe versucht, die Summanden anders zu ordnen und mit Hilfe der binomischen Formeln zusammenzufassen, kam aber nur auf folgenden Term:
(x1+2/5*x2)^2+(x2+2/5*x3)^2+(x3+2/5*x1)^2 -4/25*(x1^2+x2^2+x3^2)

was mir dabei Sorgen macht sind die Quadrate mit negativen Vorzeichen...

seid ihr besser gewesen im neu ordnen? oder hat jemand die Aussage:
s ist positiv definit <=> Mb(s) ist positiv definit
genutzt???

TIA

Soweit ich verstanden habe duerfen wir
s ist positiv definit <=> Mb(s) ist positiv definit
gar nicht benutzen, weil wir die Beweise fuer pos. def. Matrizen gar nicht in der betreffenden Vorlesung haben, also offiziell auch "nicht kennen". Nun habe ich Numerik schon gehoert und darf aber meines Verstaendnisses nach dieses Wissen nicht nutzen - es sei denn ich beweise es noch ... so nehme ich an.

Die binomischen Formeln sind fuer Terme mit zwei Unbekannten, hier haben wir aber drei; ich konnte sie nicht gebrauchen. Ich habs mit ein wenig "Rumprobieren" recht flott hinbekommen. Tut mir leid, dass ich kein wirkliches Verfahren nennen kann ... das wird sich spaetestens in der Klausur sicher auch raechen.

Veilleicht als Tipp - mein Ergebnis hat die Form

Faktor * (ein paar xe)^2 + AndererFaktor *(ein paar x-Quadrate)

Die Faktoren sind > 0, Quadrate sind auch immer > 0, also s pos. def.

Zusammengefasst wäre es ja:
5x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2 + 4x2x3 + 5x3^2 + 4x1x3

Daraus kann man relativ einfach folgendes machen:
(x1^2 + 4x1x2 + 4x2^2) + (x2^2 + 4x2x3 + 4x3^2) + (x3^2 + 4x3x1 + 4x1^2)

... was wiederum diesem entspricht:
(x1 + 2x2)^2 + (x2 + 2x3)^2 + (x3 + 2x1)^2

Oder hab ich mal wieder einen dicken Bock geschossen?