Calculus - 3.übungsblatt - Mathematik - Fachrat Informatik

compost

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1

Thursday, April 25th 2002, 5:38pm

Calculus - 3.übungsblatt

tag.

am anfang ein tipp: in der schwarzen Formelsammlung auf S.129 steht die Aufgabe 1 als Beispiel

Aber wie funktioniert Aufgabe 1c - wenn man das nach dem Schema der letzten Übung macht, dann wird die Ableitung unglaublich lang...das geht doch sicherlich anders (hoffe ich)

Und Aufgabe 2 - habe da ausgerechnet dass der Faktor 1/r ist ...kann das sein? wenn ja weiss ich allerdings nicht, wie man das in 2b anwenden soll...

gruss Jens

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Joachim

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2

Thursday, April 25th 2002, 6:29pm

Quoted

Original von compost
Und Aufgabe 2 - habe da ausgerechnet dass der Faktor 1/r ist ...kann das sein? wenn ja weiss ich allerdings nicht, wie man das in 2b anwenden soll...

1/r ist ein Teil dieses Faktors, aber da fehlt noch was (Stichwort Kettenregel).

Bestimme doch einfach mal in 2b) den Gradienten und überlege dir (indem du diesen mit dem Ortsvektor vergleichst), was hier der gesuchte Vorfaktor ist. Dann kannst du dir das bestimmt auch für den allgemeinen Fall in 2a) herleiten.

HTH,
Joachim

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Diktator

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3

Friday, April 26th 2002, 9:24pm

hallo.
ich habe grad 2b) fertig und wollte eine bestätigung dafür, dass der gesuchte vorfaktor +2*e^(-r²) ist. falls dem so ist. ich wäre stolz, wenn mir jemand dadurch zwei stunden arbeit belohnen würde.

Diktator
Holzhacken ist deshalb so beliebt, weil man bei dieser Tätigkeit den Erfolg sofort sieht. - Albert Einstein

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cowhen

Muuuh!

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4

Saturday, April 27th 2002, 3:12pm

@ diktator

imho ist der faktor

-2*e^(-r²)

weil ich nämlich allgemein also bei 2a da raus habe:

grad(f(x,y)) = dg/dr * 1/r * (x,y)

gruss

cowhen

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Diktator

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5

Saturday, April 27th 2002, 3:27pm

komisch, ich hab ein positives ergebnis.

Diktator
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Joachim

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6

Saturday, April 27th 2002, 3:33pm

Quoted

Original von Diktator
komisch, ich hab ein positives ergebnis.

Ich habe auch das negative Ergebnis raus.

Kannst ja mal den Gradienten von

e^(-x^2-y^2)

bestimmen und den Ortsvektor "ausklammern" ...

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Zypressen Hügel

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7

Saturday, April 27th 2002, 8:43pm

ok, es ist mal wieder zeit für einen offenbarungseid: ich habe ja absolut total völlig gar keine ahnung, worum es in aufgabe 2 überhaupt geht. ich denke (hoffe), dass es nicht nur mir so geht, deswegen poste ich das hier:

a) worum geht es?
b) was ist ein gradient (anschaulich)?
c) was ist der gradient hier?
d) zu aufgabe 2b): HÄ???

kann sich irgendeiner der hier anwesenden mathe-cracks dazu erbarmen, mir diese vier fragen zu beantworten?

wäre echt dankbar :-)

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Diktator

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8

Saturday, April 27th 2002, 9:21pm

@ z. hügel

was ist ein gradient?

ableitung von f nach x : fx
ableitung nach y: fy

daraus folgt gradient: grad(fx , fy) .
es ist also ein vektor.

zu b)

setze gradient = (x , y). klammere so aus, dass auf beiden seiten der faktor (x , y) steht.

ohne gewähr

Diktator
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Zypressen Hügel

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9

Saturday, April 27th 2002, 10:04pm

ah, das nenne ich mal eine chance, etwas zu verstehen :-)
danke schon mal :]

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cowhen

Muuuh!

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10

Sunday, April 28th 2002, 9:52am

@zyp hill

nochmal genauer (vielleicht hilfts):

zu aufgabe 2b musst du natürlich aufgabe 2a gelöst haben. in 2a musst du einfach die beiden partiellen ableitungen der funktion berechnen. was da raus kommt habe ich ja schon weiter oben beschrieben.

die beiden partiellen ableitungen schreibst du dann in einen vektor. dann siehst du, das da in beiden koordinaten der gleiche faktor drinnen steckt.
also ausklammern.

damit ist der beweis zu 2a auch schon geführt -rauskommen sollte zumindest:

grad(f(x,y)) = dg/dr * 1/r * (x,y)

für aufg. 2b musst du jetz den faktor dg/dr * 1/r für die dort gegebene funktion angeben.

d.h. du musst nur die funktion nach r ableiten und das ergebnis in obigen term für dg/dr einsetzen. dann kürzt sich noch was weg und du erhältst das ergebnis:

-2*e^(-r²)

hth

cowhen

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Diktator

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11

Sunday, April 28th 2002, 10:24am

zu aufgabe 1

a)

das hab ich:
v1³*v2²+v1*v2^4
------------------------
(v1²+v2²) .

b)

0; 0; 0,5 . einfach die gegebenen vektoren in obige gleichung eingesetzt.

nein. gleichung gilt nur für (0, 0).

c)

bei c) muss man ja riesig viel rechnen. oder ist das irgendwie abkürzbar?

kann jemand diese ergebnisse verifizieren bzw. falsifizieren. thx so far.

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cowhen

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12

Sunday, April 28th 2002, 11:41am

hmmm hab ich anders....

und zwar so:

1a)
f'(t=0) = (v1*v2^2) /(v1^2+v2^2) <- Richtungsabl. im Punkt 0,0 nach v1,v2

1b) Und dann hab ich da:

1,1,1/2

Die Gleichung gilt nicht für alle v : Gegenbeispiel:

1/2 = df/dv=(1,1) <> grad(f(0,0)) * v = (1,1) * (1,1)

1c) Ist imho ziemlich viel rechenarbeit die man nicht abkürzen kann, ich sehen jedenfalls keinen weg.
habe es über den weg mit den beiden part. ableitungen versucht aber da muss man den beweiß mit dem lim
führen und das ist auch nicht einfacher.

schliesslich und endlich hab ich raus:

((2*u1^3 * v2 - u1^2 * u2 * v^+ u2^2 * v^)* u2) / (u1^2+ u2^2)^2

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Joachim

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13

Sunday, April 28th 2002, 12:53pm

Quoted

Original von cowhen
1a)
f'(t=0) = (v1*v2^2) /(v1^2+v2^2) <- Richtungsabl. im Punkt 0,0 nach v1,v2

Habe ich auch so, aber f' darf man die Richtungsableitung hier nicht nennen, da f im Ursprung nicht total, sondern aufgrund unterschiedlichen Steigungen im Ursprung nur richtungsdiffbar ist. (siehe 4.4 im Skript)

Quoted

1b) Und dann hab ich da:

1,1,1/2

Also da komme ich auf 0, 0, 1/2. Man setzt ja (0, 1) bzw. (1, 0) einfach in die in a) bestimmte Richtungsableitung ein. Also z. B. für (0, 1):
fx(0, 0) = 0*1^2 / (0^2 + 1^2) = 0 / 1 = 0

Quoted

Die Gleichung gilt nicht für alle v : Gegenbeispiel:

1/2 = df/dv=(1,1) <> grad(f(0,0)) * v = (1,1) * (1,1)

Genau. Kann man auch damit begründen, daß f im Ursprung nicht total diffbar ist (also in verschiedene Richtungen verschiedene Ableitungen existieren), siehe dazu 4.4 im Skript. (Der Gradient im Ursprung ist IMHO aber (0, 0), s. o.)

Quoted

1c) Ist imho ziemlich viel rechenarbeit die man nicht abkürzen kann, ich sehen jedenfalls keinen weg.
habe es über den weg mit den beiden part. ableitungen versucht aber da muss man den beweiß mit dem lim
führen und das ist auch nicht einfacher.

schliesslich und endlich hab ich raus:

((2*u1^3 * v2 - u1^2 * u2 * v^+ u2^2 * v^)* u2) / (u1^2+ u2^2)^2

Habe ich fast genauso:
((2*u1^3 * v2 - u1^2 * u2 * v1+ u2^3 * v1)* u2) / (u1^2+ u2^2)^2

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cowhen

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Sunday, April 28th 2002, 1:25pm

Quoted

Also da komme ich auf 0, 0, 1/2. Man setzt ja (0, 1) bzw. (1, 0) einfach in die in a) bestimmte Richtungsableitung ein. Also z. B. für (0, 1):

ja natürlich, stimmt. hmm... dummer fehler! jetzt komme ich auch auf 0,0,1/2 . thx.

der gradient im ursprung ist dann natürlich entsprechend (0,0).

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Cee

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Occupation: wenn ich das jetzt noch wüsste....

15

Sunday, April 28th 2002, 1:41pm

Hiiiilfeeeee!!!!

Jetzt habe ich nach langen verständnisproblemen einige kleine Erglebnisse, und ihr habt alle etwas anderes:

1a) (v1*v2^2)/((v1^2+v2^2)(v1^2+v2^2)^(1/2))

Hierzu: Wo zu Geier habt ihr alle das "Betrag von v" welches diese gemeine Wurzel erzeugt gelassen? braucht man das gar nicht?

1b) Wegen genau dieser Wurzel gilt bei mir:
df/d(1,1) = 1/2*(2)^(1/2)

1b punkt 2: Ich finde in der Formelsammlung immer bloß grad f, was ist grad f(irgendwas)????????????

Rettet mich! Bitte!

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Joachim

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16

Sunday, April 28th 2002, 2:38pm

Quoted

Original von Cee
1a) (v1*v2^2)/((v1^2+v2^2)(v1^2+v2^2)^(1/2))

Hierzu: Wo zu Geier habt ihr alle das "Betrag von v" welches diese gemeine Wurzel erzeugt gelassen? braucht man das gar nicht?

Verstehe ich nicht ganz. Skizziere doch bitte mal deinen Lösungsweg.

Quoted

1b punkt 2: Ich finde in der Formelsammlung immer bloß grad f, was ist grad f(irgendwas)????????????

Ist im Skript in Abschnitt 4.2 erklärt.

grad f (u) ist der Gradient der Funktion f an der Stelle u. u ist dabei ein Vektor! Häufig schreibt man das einfach nur als "grad f".

grad f (0, 0) wäre dann z. B. der Gradient von f im Ursprung.

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Cee

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Occupation: wenn ich das jetzt noch wüsste....

17

Sunday, April 28th 2002, 2:57pm

Mein Lösungsweg zu Teil 1:
lim t->0 [f(0+tv1,tv2)-f(0,0)]/[t*abs(v)]
mit abs(v)=betrag von v

Zu teil 2: Danke, hoffe es hilft mir jetzt (grad f(0,0) ist also der vektor aus den partiellen ableitungen an (0,0)?)

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Joachim

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18

Sunday, April 28th 2002, 3:33pm

Quoted

Original von Cee
Mein Lösungsweg zu Teil 1:
lim t->0 [f(0+tv1,tv2)-f(0,0)]/[t*abs(v)]
mit abs(v)=betrag von v

Hmmm, du machst das also über die Definition aus der Formelsammlung.

Ist im Prinzip genauso richtig, wie

v1*v2^2 / (v1^2 + v2^2).

Der Unterschied ist lediglich, daß wir in der Vorlesung (wie es mir scheint) stillschweigend davon ausgegangen sind, daß wir als Richtungsvektoren nur Vektoren mit der Länge 1 benutzen. Darüber steht leider auch nichts im Skript. (Muß ich mal Herrn Erné drauf ansprechen, wie das bei uns gemeint ist.) Verwendet man bei der Methode zur Berechnung der Richtungsableitung aus der Vorlesung jedoch Vektoren anderer Länge, so gibt die entsprechende Richtungsableitung nicht mehr die Steigung der Kurve in diese Richtung an. Zum Beispiel haben die Vektoren (2, 1) und (4, 2) zwar die selbe Richtung, liefern aber nach unserer Methode i. d. R. verschiedene Richtungsableitungen. Ist nicht weiter schlimm, sollte man aber nur wissen.

Dieses Problem wird im allgemeinen wohl so umgangen, daß man gleich in den Formeln für die Richtungsableitung den Richtungsvektor auf Länge 1 normiert und somit immer die korrekte Steigung erhält.