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Tara

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  • "Tara" started this thread

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1

Saturday, April 27th 2002, 8:37pm

Analysis Übung 4

| f(x) – f(y) | = | sin x – sin y | = | 2 cos ( x+y /2) * sin (x-y /2) | <= ????
Nehm ich nun den cos oder den sin- Teil? Und warum nehm ich was? ?( ?(
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Diktator

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2

Sunday, April 28th 2002, 11:36am

Quoted

Original von Tara
Nehm ich nun den cos oder den sin- Teil? Und warum nehm ich was? ?( ?(


ich nehme an, du meinst aufgabe 4.1!

das, was ich jetzt schreibe, gilt für alle aufgaben aus 4, über die richtigkeit des folgenden bin ich mir nicht ganz sicher. aber es klingt zumindest logisch. also:

siehe skript: f ist l-stetig gdw. f`ist beschränkt im gegebenen intervall.

diesen satz benutze ich für meine beweise.

das heisst: bilde die ableitung. prüfe, ob diese zu beiden intervallgrenzen beschränkt ist (einen grenzwert ungleich unendlich hat). wenn ja, dann ist f l-stetig.
kontraktion ist gdw. l (grenzwerte von f`) <= 1 ist.

wie du siehst, hab ich das anders als in der vorlesung bewiesen. ich hab das aus der vorlesung auch nicht ganz kappiert.
bitte korrigiert fehler, da ich mir nicht sicher bin, ob dieser weg auch wirklich ein richtiger ist.

so far...
Diktator
Holzhacken ist deshalb so beliebt, weil man bei dieser Tätigkeit den Erfolg sofort sieht. - Albert Einstein
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MAX

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3

Wednesday, May 1st 2002, 7:44pm

Ich denke so

Quoted

Analysis Übung 4
| f(x) – f(y) | = | sin x – sin y | = | 2 cos ( x+y /2) * sin (x-y /2) | <= ????
Nehm ich nun den cos oder den sin- Teil? Und warum nehm ich was?

Du nimmst den sin Teil, da im sin Teil x-y steht. Nach Satz gilt: |f(x)-f(y)|<=L|x-y|
Wie du siehst steht im Satz auch x-y, also muss du in deinem Beweis versuchen auf diese Form zu bringen, indem man abschätzt und "unwichtige" Teile rausschmeist.

Quoted

kontraktion ist gdw. l (grenzwerte von f`) <= 1 ist.

Ist es nicht L < 1 ???

mfg
MAX
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Zypressen Hügel

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4

Wednesday, May 1st 2002, 8:54pm

Quoted

Ist es nicht L < 1 ???

es ist L < 1, denn sonst bleibt die fkt. ja "gleich" bzw. ihre ableitung, sie "zieht" sich also nicht zusammen bei L = 1

Quoted

Nehm ich nun den cos oder den sin- Teil? Und warum nehm ich was?


ich nehme: |f(x)-f(y)|=|sin(x)-sin(y)|=|2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)|
wobei aus |cos(a/2)|<=1 und |sin(a/2)|<=|a/2| folgt:
|2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)| <= |2*1*((x-y)/2)| = |x-y|

und damit ist |f(x)-f(y)|/|x-y| <= |x-y|/|x-y| = 1

also |f(x)-f(y)|/|x-y|<=1 und damit ist f(x) lipzitsch-stetig mit der lipzitsch-konstante 1.
Man kann auch ohne Spass Alkohol haben 8)
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Joachim

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5

Wednesday, May 1st 2002, 11:14pm

Quoted

Original von Zypressen Hügel
und damit ist |f(x)-f(y)|/|x-y| <= |x-y|/|x-y| = 1

also |f(x)-f(y)|/|x-y|<=1 und damit ist f(x) lipzitsch-stetig mit der lipzitsch-konstante 1.
Wobei man natürlich noch zeigen muß, daß es keine kleinere L-Konstante gibt, da es sich ja sonst um eine Kontraktion handelt ...
The purpose of computing is insight, not numbers.
– Richard Hamming, 1962
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Candide96

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6

Thursday, May 2nd 2002, 11:58am

aufgabe 4.2 & 4.3

wie soll man denn aufgabe 4.2 und 4.3 lösen?

soll man sich auf beschränkheit und abgeschlossenheit
beziehen oder geht es irgend wie weiter, wenn man
sqrt(x)-sqrt(y) hat? ?(

hat jemand eine lösung?

@joachim: wie soll man denn es zeigen, dass es keine kleinere Kontraktions-Konstante existiert.
-> einfach ableiten, oder wie? ?(

gruss

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cowhen

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7

Thursday, May 2nd 2002, 12:26pm

zu aufg. 4.2 und 4.3

4.2)

du kannst das als |1/(x-y)|* |(sqrt(x)-sqrt(y))* (sqrt(x)+sqrt(y)) / {sqrt(x)+sqrt(y)}| schreiben

und dann auch als

|(x-y) / (x-y)|* |1/(sqrt(x)+sqrt(y))| = |1/(sqrt(x)+sqrt(y))|

(GLAUBE ICH.)

und dann gehts weiter bzw. du bist schon so ziemlich fertig.



hth & gruss


cowhen

ps:
4.3) geht dann analog.
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Candide96

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8

Thursday, May 2nd 2002, 12:41pm

@cowhen: thanx, hatte das auch schon raus, aber das kommt mir irgendwie komisch vor?

ist dann in beiden Fällen die L-Konstante = 1/2?
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Joachim

Guru

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9

Thursday, May 2nd 2002, 1:52pm

Quoted

Original von Candide96
wie soll man denn es zeigen, dass es keine kleinere Kontraktions-Konstante existiert.
Wir wissen, daß die kleinstmögliche L-Konstante ist nicht größer als 1 ist (ergibt sich ja aus der Abschätzung).

Es ist also zu zeigen, daß der Differenzenquotient für entsprechende x und y unendlich dicht an die 1 rankommt. Und das macht man am besten über einen Grenzwert, in dem man z. B. für y einen festen Wert wählt und x gegen eine Zahl konvergieren läßt (oder umgekehrt) ...

Hinweis:
Der Grenzwert von sin(x)/x, wobei x gegen 0 geht, ist 1.
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cowhen

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10

Thursday, May 2nd 2002, 2:34pm

@candide

nee, ich denke, dass 4.2 nich L-stetig ist, weil die steigung der fkt ja über alle genzen wächst und bei
4.3 ist es dann L=1/2
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Diktator

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11

Thursday, May 2nd 2002, 4:28pm

@cowhen

das ist wohl wahr.
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compost

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12

Thursday, May 2nd 2002, 4:49pm

hi!

im script steht so ein kluger satz:

Quoted

"Eine auf einem Intervall differenzierbare Funktion ist dort genau dann L-stetig, wenn ihre Ableitung beschränkt ist.


kann man dann nicht bei 4.2 einfach sagen, dass die Ableitung nicht beschränkt ist?? das wäre doch einfach oder nicht?

gruss Jens


PS: warum L = 1/2 bei 4.3 ??
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cowhen

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13

Thursday, May 2nd 2002, 5:35pm

@compost

bei 4.3 L=1/2 weil das teil auf dem intervall durch 0 und 1/2 beschränkt ist.

denn:

lim 1/ (sqrt(x)+ sqrt(y)) = 1/2 für x,y -> (1,1)

und = 0 für x,y -> (0,0)
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Informatik Minister

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14

Thursday, May 2nd 2002, 5:45pm

Ich auch nochmal...

Wieso ist bei nicht Stetigkeit der Satz in 1 falsch.
Allein, dass dann der Satz vom Maximum nicht greift reicht doch wohl nicht ?!?
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Joachim

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15

Thursday, May 2nd 2002, 5:55pm

Quoted

Original von Informatik Minister
Wieso ist bei nicht Stetigkeit der Satz in 1 falsch.
Allein, dass dann der Satz vom Maximum nicht greift reicht doch wohl nicht ?!?
Bring' doch einfach ein Gegenbeispiel. Gefragt war ja AFAIR nicht, wieso der Satz dann nicht gilt, sondern *ob* er das nicht tut... Das sollte dann eigentlich reichen.
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Informatik Minister

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16

Thursday, May 2nd 2002, 6:17pm

und da...

reicht es, EIN gegenbeispiel zu finden?!?

Dann würd es meiner Meinung nach auch reichen, zu sagen, dass laut der Definition des Satzes die Funktion stetig sein muss, ansonsten trifft der Satz zumindest nicht in 100% der Fälle zu, was ja auch die einzige Aussage einer Gegenbeispiels wär.

Ach ich schreib irgendwas...sollen die sich was rauspicken...

Schnöden Dank

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Joachim

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17

Thursday, May 2nd 2002, 6:40pm

Quoted

Original von Informatik Minister
reicht es, EIN gegenbeispiel zu finden?!?
IMHO ja. Damit kann man beweisen, daß der Satz ohne die Stetigkeitsbedingung im allgemeinen nicht gilt.

Quoted

Dann würd es meiner Meinung nach auch reichen, zu sagen, dass laut der Definition des Satzes die Funktion stetig sein muss, ansonsten trifft der Satz zumindest nicht in 100% der Fälle zu, was ja auch die einzige Aussage einer Gegenbeispiels wär.
Vorsicht: Der Satz besagt, daß stetige Funktionen mit einem kompakten Def.-Bereich immer ein Maximum haben. Das ist keine "genau dann wenn"-Beziehung. Das Gegenteil folgt daraus also nicht. Sonst müßte ja gelten: "Keine nicht stetige Funktion mit einem kompakten Def.-Bereich besitzt ein Maximum". Und das ist natürlich falsch.
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Zypressen Hügel

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18

Thursday, May 2nd 2002, 7:57pm

@ infominist

es geht tatsächlich am schnellsten, ein gegenbeispiel anzugeben, wie timmann es in der vorlesung ja quasi auch gemacht. man kann sich dann das auseinanderfrickeln der bedingungen und definitionen sparen.

@ rest

kann mir jemand bestätigen, dass

f(x) = e^x für x < 0 und e^(-(x+1)) für x >= 0

ein geeignetes gegenbeispiel ist?

thx
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Informatik Minister

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19

Thursday, May 2nd 2002, 8:44pm

weiss nicht

ich hab einfach e^(1/x) genommen
grenzwerte (x->+-unendlich) sind 0
liegt im positiven f(x)bereich und ist weder stetig noch hats nen maximum

allgemein aufgabe 4:
wie compost schon so richtig anmerkte, ist es auch meiner meinung nach am einfachsten, die funktion abzuleiten und diese ableitung auf beschränkheit auf dem intervall zu überprüfen

aber LEIDER muss man, um zu sagen, ob es eine
kontraktion ist, L auch bestimmen....

aber ich würd erst die ableitung betrachten...in jedem fall... ging hier irgendwie unter der satz....

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Obi-Wan Kenobi

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20

Thursday, May 2nd 2002, 9:09pm

Quoted

Original von Informatik Minister
aber LEIDER muss man, um zu sagen, ob es eine
kontraktion ist, L auch bestimmen....

wieso muss man das? reicht es nicht die größte ableitung im intervall als L zu nehmen?

?(
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