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Diktator

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1

Friday, May 3rd 2002, 10:41pm

Cälkjulus, 4. Übung

hat jemand schon aufgabe 3 gemacht?

ic hhabe als lösung den nullvektor raus, kann mir aber nicht vorstellen, dass dat stimmt.

und: wie mach ich aufgabe 1 a) auf die schnellste art?

?(
Diktator
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Zypressen Hügel

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2

Saturday, May 4th 2002, 12:18am

1a) auf die schnellste art:
fx(0) = lim ((f(t,0)-f(0,0))/t = 0 für t gegen null.
fy(0) = lim ((f(0,t)-f(0,0))/t = 0 für t gegen null.

muss man so machen, weil fkt. bei null so "komisch" ist, also keine normale rationale fkt, sondern abschnittsweise definiert.

zu 3) schon komisch, wenn du den nullvektor raushast, wenn nach einem punkt gefragt ist, aber ich denke, der nullvektor soll ortsvektor des punktes sein. dann ist dein ergebnis falsch.
ebenen sind parallel, wenn ihre normalenvektoren lin.abh. sind. normalenvektor der ebene ist (2,1,-4). normalenvektor der tangentialebenen an die fkt. ist -(grad f(x,y),-1) = (-fx(x,y),-fy(x,y),1) = (-2x,-2y,1)
lin. abh. zum nv der ebene: alpha * (-2x,-2y,1) = (2,1,-4) nur möglich für alpha = -4. reinziehen in den vektor ergibt, dass 8x = 2 sein muss und 8y = 1 sein muss. also ist die tangentialebene im punkt (1/4,1/8,f(1/4,1/8)) parallel zu E. hab ich jedenfalls raus.

hth
Man kann auch ohne Spass Alkohol haben 8)
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Zypressen Hügel

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3

Saturday, May 4th 2002, 12:20am

der sonnenbrillensmilie war keine absicht, es sollte eigentlich ( 1/4 , 1/8 , f( 1/4 , 1/8 ) ) heissen :D
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compost

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4

Saturday, May 4th 2002, 4:11pm

1c

hi!

also das ergebnis bei 3 kann ich bestätigen. aber ich verstehe gerade aufgabe 1c) nicht. wieso ist

fxy(0) ungleich fyx(0) wenn beide partiellen ableitungen in 0 = 0 sind ?

gruss Jens
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Diktator

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5

Saturday, May 4th 2002, 4:28pm

zu 1 c)

für diese aufgabe muss du wohl die ergebnisse von b) heranziehen. dh.: fx(0) nochmal nach y ableiten; und umgekehrt.
so werde ich es erstmal versuchen.

c ya.
Diktator
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Zypressen Hügel

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6

Saturday, May 4th 2002, 4:30pm

fxy(0) und fyx(0) haben mit den partiellen ableitungen nur bedingt etwas zu tun.

fxy(0):=(d/dy(df(x,y)/dx))(0)

fxy(0) ist also die ableitung der allgemeinen partiellen ableitung fx (x,y) = (x^4*y+5*x^2*y^2-2*y^5)/((x^2+y^2)^2) nach y an der stelle null.

genau das ist das problem, denn an der stelle (0,0) ist die funktion abschnittsweise definiert (stetig ergänzt) und kann deshalb u.u. nicht einfach so abgeleitet werden. man muss hier mit lim ((fx(0,t)-fx(0,0))/t) für t gegen 0 arbeiten und das ergibt für fxy(0) = -2 und für fyx(0) = 1.
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compost

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7

Saturday, May 4th 2002, 5:06pm

cool. klar! danke!

Jens


aber was zum teufel ist eine orthogonalprojektion....naja. mal sehen
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cowhen

Muuuh!

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8

Saturday, May 4th 2002, 5:29pm

evtl. fehler in 2b) ???

hallo,

in aufg. 2b) steht

"brechenen sie die tangentialebene in g im punkt (1,0, g(0,1))"

ist das evtl. ein fehler in der aufgabestellung??
müsste es nicht "im punkt (1,0, g(1,0)) " heissen?? siehe def. der tangentialebene im skript (5.1)



gruss


cowhen
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compost

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9

Saturday, May 4th 2002, 6:31pm

...allerdings habe ich die partielle ableitung fx() also die allgemeine anders...

das 5*... im nenner ist bei bir ein 3*x²y³ ?!


gruss Jens
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Joachim

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10

Saturday, May 4th 2002, 7:33pm

Quoted

Original von cowhen
in aufg. 2b) steht

"brechenen sie die tangentialebene in g im punkt (1,0, g(0,1))"

ist das evtl. ein fehler in der aufgabestellung??
müsste es nicht "im punkt (1,0, g(1,0)) " heissen??
Ist bestimmt ein Fehler. Der Punkt (1,0, g(0,1)) liegt ja gar nicht auf der Kurve.
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Zypressen Hügel

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11

Saturday, May 4th 2002, 7:52pm

@ joachim

Quoted

Ist bestimmt ein Fehler. Der Punkt (1,0, g(0,1)) liegt ja gar nicht auf der Kurve.


was nicht unbedingt viel zu sagen hat, denn er könnte ja auch damit meinen, dass man diejenige ebene ausrechnet, die durch diesen punkt läuft und tangential an die ebene anliegt. aber ich hoffe für the riddler, dass er das nicht meint, das artet nämlich in eine höllenrechnerei aus.
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Joachim

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12

Saturday, May 4th 2002, 7:57pm

Quoted

Original von Zypressen Hügel

Quoted

Ist bestimmt ein Fehler. Der Punkt (1,0, g(0,1)) liegt ja gar nicht auf der Kurve.


was nicht unbedingt viel zu sagen hat, denn er könnte ja auch damit meinen, dass man diejenige ebene ausrechnet, die durch diesen punkt läuft und tangential an die ebene anliegt.
Meint er garantiert nicht. Das wäre dann keine echte "Tangentialebene in diesem Punkt" mehr. Außerdem gibt es unendlich viele Ebenen, die deine Bedingung erfüllen würden.

Korrektur: Ist natürlich Quatsch, was ich da erzählt habe. Vergeßt diesen Beitrag (bis auf den ersten Satz).
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Zypressen Hügel

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13

Saturday, May 4th 2002, 9:00pm

Quoted

Meint er garantiert nicht. Das wäre dann keine echte "Tangentialebene in diesem Punkt" mehr. Außerdem gibt es unendlich viele Ebenen, die deine Bedingung erfüllen würden.


schon klar. aber alle diese unendlich vielen ebenen haben etwas gemeinsam: sie liegen in einem punkt und tangieren das fkt.gebirge in verschieden punkten (vermutlich entlang eines graphen eines dreidimensionalen kegelschnitts von g). ergo sollten sich diese unendlich vielen ebenen auch als ebenenschar darstellen lassen.

aber ich stimme dir zu. meint er garantiert nicht, denn der aufwand wäre einfach zu groß, vorausgesetzt, wir könnten sowas überhaupt lösen.
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Tara

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14

Monday, May 6th 2002, 7:47pm

Hat schon wer seine Ergebnisse bei 1, und kann die hier mal posten??
Wie funktioniert denn das bei 2 und 3?? ?( ?(
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Informatik Minister

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15

Monday, May 6th 2002, 8:05pm

pjo

1)
a) beides 0 (siehe heutige vorlesung) via

Source code

 
1
2
3

f(t,0)-f(0,0)
--------------
      t

bzw. t als y-komponente

b)

Source code

 
1
2
3

(u1^4)u2 + 5(u1^2)(u2^3) - 2(u2^5)
---------------------------------
         ((u1^2) + (u2^2))^2


Source code

 
1
2
3

(u1^5) - 7(u1^3)(u2^2) - 2u1(u2^4)
-----------------------------------
         ((u1^2) + (u2^2))^2


c)
fxy(x,y)=-2
fyx(x,y)=1


zu 2)
a) einfach ableiten nach x und y, danach Punkte einsetzen

b) Fehler in Aufgabe korrigieren (1,0,g(1,0)) statt (1,0,g(0,1))
danach wie in der übung orts- und richtungsvektoren bestimmen und zur tangentenebene zusammensetzen

3)
Normalenvektor der Ebene aufschreiben (2,1,-4)
danach wie in der übung den allgemeinen Normalenvektor einer Tangentialebene im Punkt (u1,u2) bilden (z.B. (-grad f(u1,u2),1))
dann die Normalenvektoren mitsamt Skalar vor einem gleichsetzen und ausrechnen (Normalenvektoren linear abhängig => Ebenen parallel)....man sieht, dass lambda -4 sein muss (aber nur, wenn man das lambda auf die selbe seite der gleichung schreibt wie du,ähhhh ICH. sonst kommt natürlich -1/4 raus) und daraus ergeben sich u1,u2 und somit der Punkt (1/4,1/8,5/64)

schau....
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Joachim

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16

Monday, May 6th 2002, 8:14pm

Quoted

Original von Informatik Minister
man sieht, dass lambda -4 sein muss
aber nur, wenn man das lambda auf die selbe seite der gleichung schreibt wie du. sonst kommt natürlich -1/4 raus. ;)
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Tara

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17

Monday, May 6th 2002, 8:54pm

Hab dasn bissl anders:
u1^4 * u2+3u1^2 * u2^2 - 4u1^2 * u2^3 - 2u2^5 (oben bei fx(u))

u1^5 - 7u1^3 * u2^2 - 4u1 * u2^4 (oben bei fy(u))
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Joachim

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18

Monday, May 6th 2002, 9:00pm

Quoted

Original von Tara
Hab dasn bissl anders:
u1^4 * u2+3u1^2 * u2^2 - 4u1^2 * u2^3 - 2u2^5 (oben bei fx(u))

u1^5 - 7u1^3 * u2^2 - 4u1 * u2^4 (oben bei fy(u))
Die Ergebnisse vom Minister sind schon richtig. (Habe ich eben zur Sicherheit nochmal mit Maple überprüft.)

Hast wahrscheinlich einfach nur einen Rechenfehler gemacht. Poste doch mal deinen Lösungsweg.
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Tara

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19

Monday, May 6th 2002, 9:16pm

Hab grad gesehen, dass ich das zweite ja genauso hab . Upsi ;)
ok:
(3x^2y-2y^3)*(x^2+y^2) - 2x (x^3y-2xy^3)/(x^2+y^2)^2

=> (3x^4y+3x^2y^3-2x^2y^3-2y^5-2x^4y-2x^2y^3)
/ (x^2+y^2)^2

=> (x^4y-x^2y^3-2y^5-2x^4y)/(x^2+y^2)^2
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Tara

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20

Monday, May 6th 2002, 9:26pm

Nochmal ne Frage:
Bei 2a) kommt da raus:

1/2 * (12-3x^2-y^2)^-1/2 * (-6x) ???
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