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Das würde dann ja bedeuten, daß z. B.Quoted
Original von RoKu
in Aufgabe 1b.) soll man ja Basen von Ker phi und Im phi bestimmen.
Im phi = IR sollte ok sein.
Ker Phi enthält alle Polynome, deren Ableitung Null ist, also z. B.Quoted
Was ist jedoch mit Ker phi ?
Eigentlich sind dort alle rat. Fkt. drinn die Null ergeben....
das können viele Kombinationen sein. Was soll ich folglich dort angeben ? Also als Basis von Ker phi ?
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Mal davon abgesehen, daß V nicht der Vektorraum aller rationalen Funktionen ist , sollte es stimmen, da ja die Ableitung eines Polynoms immer ein Polynom ist bzw. man zu jedem Polynom eine Stammfunktion finden kann, die wieder ein Polynom ist.Quoted
Original von RoKu
Sorry ich meinte auch nicht Im(phi) = IR sondern = V.
Stimmt das denn. Also Im (phi) ist wieder der Raum der rat. Fkt. ?
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Quoted
Mal davon abgesehen, daß V nicht der Vektorraum aller rationalen Funktionen ist
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Ja, aller ganzen rationalen Funktionen.Quoted
Original von RoKu
Quoted
Mal davon abgesehen, daß V nicht der Vektorraum aller rationalen Funktionen ist
Wieso, ist doch in der Aufgabe so definiert.
Also V ist der Vektorraum aller ganzen rat. Fkt.
IMHO ist beides korrekt.Quoted
Also ist Im(phi)=V, oder nicht ?
Was ist denn jetzt mit Ker(phi)=IR ?
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Ist formal nicht ganz sauber, aber vom Prinzip her geht das so. Du solltest zudem noch erwähnen, daß du R^n nach R abbildest (also deine Matrix etwas erklären) und genauer begründen, warum (f(b_1), ..., f(b_n)) keine Basis des Bildes sein kann (Lineare Abhängigkeit).Quoted
Original von RoKu
Zu 2a.)
Habe ich ein Gegenbeispiel gezeigt.
Sei f: g(b)=(a_1,...,a_n)*b = IR
somit kann (f(b_1),..,f(b_n)) keine Basis von Im(f)sein denn IR lässt sich nicht aus (f(b_1,..,f(b_n)) kombinieren.
Geht das so ?
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Ja, so sollte das aussehen.Quoted
Original von RoKu
Also, nochmal zu 2a.)
Ich bilde jetzt ab IR^3->IR^2 mit f(x)=
(1 1 * x
1 1)
Also ist {(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)} eine Basis von V
Dann würde laut Behauptung eine Basis von Im f sein:
{(1,1),(1,1),(1,1)}.
Diese "Basis" enthält aber l.a. Elemente, kann also keine Basis sein.
-> Widerspruch zur Behauptung
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Hatte ich vorhin übersehen: Wenn du vom R^n in den R^m abbildest, muß die Matrix natürlich n Spalten und m Zeilen haben. Du hast also in deiner Matrix noch eine Spalte vergessen.Quoted
Original von RoKu
Kann meine Lösung zu 2a.) überhaupt richtig sein ? Die von mir definierte Abbildung ist doch gar nicht linear ?
Denn für L1 muss gelten f(v+w)=f(v)+f(w) und das geht nicht,
weil f(w aus IR^2) ist nicht definiert.
Seh ich das richtig ?
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OK, hier ein paar Tips:Quoted
Original von RoKu
Ich will ja nicht nerven, aber bei 2b.) fehlt mir ne Idee.
Bitte um Hilfe.
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Quoted
Hatte ich vorhin übersehen: Wenn du vom R^n in den R^m abbildest, muß die Matrix natürlich n Spalten und m Zeilen haben. Du hast also in deiner Matrix noch eine Spalte vergessen.
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Quoted
Original von RoKu
Ich bilde jetzt ab IR^3->IR^2 mit f(x)=
(1 1 * x
1 1)
Dann ist ja alles in Ordnung. Die Matrix in deinem (oben zitierten) Beitrag hatte aber nur zwei Spalten.Quoted
...das war doch bei mir der Fall. Also 3x2 Matrix * (x1,x2,x3) =(x1',x2')
?
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Kann meine Lösung zu 2a.) überhaupt richtig sein ? Die von mir definierte Abbildung ist doch gar nicht linear ?
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Quoted
OK, hier ein paar Tips:
Satz 3.3 besagt, daß eine lineare Abbildung f genau dann injektiv ist, wenn gilt: Ker f = {0}.
Außerdem gilt, daß die Basisvektoren von V linear unabhängig sind (da Basis), also durch Linearkombination nur auf triviale Weise der Nullvektor erzeugt werden kann.
Und es gilt aufgrund der Linearität von f:
f(a_1*b_1 + ... + b_n*b_n) = a_1*f(b_1) + ... + a_n*f(b_n)