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tag!

also meiner meinung nach brauch man das gar nicht. man soll ja die ableitung der umkehrfunktion bestimmen und das geht mit dieser lustigen formel, die wir letztes mal hergeleitet haben...weiss die gerade nicht auswendig....irgendwas mit (f^-1)' (b) = ... ?? auf jeden fall braucht man dazu nicht die umkehrfunktion...

eine aufgabe haben wir da auch gerechnet, wo er meint dass die analog zu A7.3 sei. (e^x+1 war das glaube ich).

so. hoffe das hilft ein wenig auch wenn nix konkretes drinsteht.

gruss Jens

Hi!


Ähem...ich hab das so leichtfertig geschrieben und glaube auch nach wie vor dass man so zu dem Ergebnis kommt, aber ich im Moment nicht. Bei mir endet das in

g'(x) = ( f² (g(x)) + 2 * g(x) * tan g(x) - g²(x)) ^-1

aber kommt man da weiter zu dem gesuchten Ergebnis?

Und zu Aufgabe 6: reicht es da wenn man zeigt, dass die Funktion immer unter den Sekanten liegt? ist das nicht äquivalent zu der Aussage dass f immer über der Tangent liegt?


Gruss Jens

Quoted

Original von compost
Und zu Aufgabe 6: reicht es da wenn man zeigt, dass die Funktion immer unter den Sekanten liegt? ist das nicht äquivalent zu der Aussage dass f immer über der Tangent liegt?

Zu beweisen ist ausschließlich die formalisierte Aussage.
Der Satz, der da drunter steht, ist nur zur Erklärung gedacht und auf diesen sollte IMHO im Beweis auch nicht Bezug genommen werden.
Also: Aufgabe gelöst, genau dann wenn Aussage f(x) > ... bewiesen.

zu Aufg. 3


laut script ist eine Funktion dann umkehrbar, wenn f'(x) im Def.-Bereich ungleich 0 ist. Wieso kann man sie dann trotzdem umkehren, da doch f'(0) = 0 ist?

Quoted

Original von Ali
laut script ist eine Funktion dann umkehrbar, wenn f'(x) im Def.-Bereich ungleich 0 ist. Wieso kann man sie dann trotzdem umkehren, da doch f'(0) = 0 ist?

Im Skript steht, daß aus f'(x) != 0 für alle x aus D Umkehrbarkeit folgt, von einer Äquivalenzbeziehung ist dort nicht die Rede.
Soll heißen: Es könnte umkehrbare Funktionen geben, bei denen für irgendwelche x aus D gilt f'(x) = 0. Und in der Tat gibt es sie: zum Beispiel ist f(x)=x^3 eine solche.

Anschaulich gesagt, ist eine Funktion genau dann umkehrbar, wenn es keine zwei Stellen x1 und x2 aus D mit x1 <> x2 gibt für die gilt: f(x1) = f(x2).

Speziell zur 3. Aufgabe der Hausübung, solltest du dir mal Satz 4.3-4 c) im Skript anschauen.


HTH,
Joachim

Kann mir jemand sagen was das bedeutet?
Aus Satz 4.3-4c)
"unf f' in keinem echten Teilintervall von D identisch verschwindet"
Was bedeutet hier "identisch verschwindet"?
mfg
MAX

ansatz zur aufg. 3:
i)
die umkehrbarkeit zeigt du darüber, dass f bijektiv ist.

dazu leitest du f ab. [ f'(x) = tan^2 (x) ]
und das ist nur für x=0 null , dehalb streng mon. (steigend?) auf dem intervall. ausserdem ist es ja stetig auf dem intervall und damit ist es bijektiv und umkehrbar.


ii) um das zweite zu zeigen schreibst du die ableitung der fkt anders: f'(x) = tan^2(x) = (x+tan(x)-x)^2 = (x+f(x))^2 .

und das kannste dann in

g(x)= 1/( f'(g(x))) eins. und dann müüüüste das folgen was folgen soll.


zu aufg. 6 haben wir gestern die idee besprochen zu zeigen, dass man satz 4.4-4 hier so spezialieren darf, dass die gennante aussage gilt, aber joachim meite das wäre nich so doll...

deswegen erlaube ich mir mal hier joachims tip zu zitieren, den er mir gestern gegeben hat (ich hoffe das ist ok):

Quoted

wisdom from joachims mouth:
man braucht nur zwei dinge: den mittelwertsatz und die strenge monotonie von f'.
1. wähle x0 aus ]a, b[
2. fallunterscheidung:
a) wähle x aus ]a, x0[
b) wähle x aus ]x0, b[
dann kann in den einzelnen fällen (die im übrigen fast gleich gelöst werden), jeweils zuerst den mittelwertsatz anwenden und dann die o. g. monotonie ausnutzen.

cu

cowhen

Quoted

Original von MAX
Aus Satz 4.3-4c)
"unf f' in keinem echten Teilintervall von D identisch verschwindet"
Was bedeutet hier "identisch verschwindet"?

Die Formulierung habe ich auch noch nie gehört, aber ich meine, daß es folgendes bedeutet:

"verschwinden" -> gleich Null sein.
"identisch sein" -> konstant sein

"in keinem echten Teilintervall von D identisch verschwinden" -> hier: es gibt kein echtes Teilintervall von D, in dem f' konstant gleich Null ist. Einzelne Stellen x, an denen f'(x) = 0 gilt, sind aber erlaubt.

für die Beiträge...wie immer :]

Quoted

Original von cowhen
und das ist nur für x=0 null , dehalb streng mon. (steigend?) auf dem intervall. ausserdem ist es ja stetig auf dem intervall und damit ist es bijektiv und umkehrbar.

Muss man aber noch minimal erwähnen, dass es ein Wendepunkt ist... sonst wärse ja nicht streng monoton...


Hab nochmal ne Frage zu Aufg. 6

Euren Ansatz hab ich nicht weiter verfolgt, ich konzentriere mich grad auf das "streng konvexe" der Funktion... (was sich aus f"(x)>0 ergibt)

f(lambda*x1 + (1 - lambda) * x2)
ECHT KLEINER (streng konvex)
lambda * f(x1) + (1 - lambda) * f(x2)

Daraus ergibt sich, dass die Funktion immer unterhalb der Sehnen...

Und da verlaufen sie sich... kann man da nicht relativ simpel darauf kommen, dass sie auch ECHT oberhalb der Tangenten liegt?

Irgendwie mit dem Mittelwertsatz, dass jede Sehnensteigung auch ne Tangentensteigung ist?!?

Ich weisses nicht....mist

Hat das irgendjemand auf dem Weg (denke, der ist sogar beabsichtigt) gelöst?