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hm, seltsame frage irgendwie.

generell spannt ein span, der n (lin.unabh.) vektoren enthält, einen n-dimensionalen raum auf (anm.: ein span enthält immer lin.unabh. vektoren).

speziell zu den aufgaben: man bestimmt den rang der matrix (A-eigenwert*E) und zieht von der anzahl freier variablen (hier 3) den rang ab und hat die dimension des lösungsraums (bei a) dim eig(A,-2) = 2, dim eig(A,4) = 1) und genausoviele vektoren stehen im span... im gegensatz dazu ist dim eig(B,-2) = 1, dim eig(B,4) = 1. die algebraische vielfachheit einer nullstelle des charakteristischen polynoms hat also wie gezeigt nicht direkt etwas mit der dimension des eigenraums zu tun und damit auch nicht mit der anzahl der vektoren im span (wurde in der vorlesung auch gezeigt: geometrische vielfachheit ist kleiner oder gleich algebraische vielfachheit).

ich hoffe, das hilft. ansonsten müsstest du deine frage etwas konkreter stellen.

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Original von Zypressen Hügel
hm, seltsame frage irgendwie.

Fand' ich auch. Wußte gar nicht, was ich da antworten sollte. Aber zum Glück hast du ja den Anfang gemacht.

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generell spannt ein span, der n (lin.unabh.) vektoren enthält, einen n-dimensionalen raum auf (anm.: ein span enthält immer lin.unabh. vektoren).

Das ist so aber nicht ganz richtig. Die Menge der Vektoren, aus denen der Raum aufgespannt wird, kann durchaus linear abhängig sein (siehe Skript LinA A, Seite 46). In diesem Fall entspricht die Dimension dieses Raumes natürlich nicht der Zahl der aufspannenden Vektoren.

Also:
Sei U eine Menge von m Vektoren aus dem R^k, von denen n linear unabhängig sind.
Dann ist span U ein n-dimensionaler Vektorraum.

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Das ist so aber nicht ganz richtig. Die Menge der Vektoren, aus denen der Raum aufgespannt wird, kann durchaus linear abhängig sein

ja, hast ja mal wieder recht. hab leider "basis" mit "span" verwechselt... *schäm*