Fachrat Informatik - Forum

aufgabe 1 A kann ich nicht bestätigen, habe da Eig(A,-2)=span{(-1,0,1),(1,1,0)} und Eig(A,4)=span{(1,1,2)} (lin. unabh.) => diagonalisierbar

aufgabe 1 B kann ich im wesentlichen bestätigen, auch wenn ich andere Eigenräume raushabe.

dass das gleiche char. polynom rauskommt, hat nix damit zu tun, dass die räume ähnlich sind (hoffe ich).

ansatz/tipp/lösung zu 2:

a) es ist A^k*x=0 (lt. vorrausetzung).
b) es ist A*x=lambda*x, wenn lambda eigenwert ist (lt. definition des eigenwertes)

=> es ist A^k*x=A^(k-1)*(A*x)=A^(k-1)*(lambda*x)=lambda*A^(k-1)*x=lambda*A^(k-2)*(A*x)=lambda*A^(k-2)*(lambda*x)=lambda^2*A^(k-2)*x=...=lambda^k*x=0 (nach A^k*x=0)

diese gleichung kann aber nur für lambda^k=0 erfüllt sein, da x nicht der nullvektor ist. also ist lambda=0 k-facher eigenwert der matrix. zu einem eigenwert 0 existiert lt. definition kein eigenvektor, also kann auch keine von der leeren menge verschiedene basis aus eigenvektoren zu A existieren, so dass die gleichung B=T^(-1)AT mit B als diagonalmatrix nicht erfüllt werden kann => A nicht diagonalisierbar.

hth

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Original von Diktator
in satz 6.1 steht: ähnliche matrizen haben das gleiche charakt. polynom. und das haben sie bei mir.

Ja, aber es gilt keine Äquivalenz zwischen den beiden Aussagen. Den Satz 6.1 könnte man ja auch so schreiben:

Matrizen A und B ähnlich
=>
A und B haben das gleiche charakteristiche Polynom.

Von der umgekehrten Richtung (also, daß aus der Gleichheit des char. Polynoms Ähnlichkeit folgt) steht da nichts - und die ist auch im allgemeinen falsch.


Es gilt aber:
"Sind zwei Matrizen A und B ähnlich, so sind A und B zu den gleichen Matrizen C ähnlich."

Das kann man auch leicht beweisen:

Sei A ähnlich zu B sowie o. B. d. A. A ähnlich zu C. Dann gilt:
A = T * B * T^{-1}
A = U * C * U^{-1}
=>
T * B * T^{-1} = U * C * U^{-1}
<=>
B = T^{-1} * U * C * U^{-1} * T

Nach den Rechenregeln für Matrizen gilt
T^{-1} * U = (U^{-1} * T)^{-1}.

Sei V = T^{-1} * U. Dann gilt:
B = V * C * V^{-1}

=> Also sind B und C ähnlich.


Daß B zu allen Matrizen ähnlich ist, zu denen auch A ähnlich ist, ist also eine notwendige Bedingung für die Ähnlichkeit von A und B.


Bezogen auf die Aufgabe bedeutet das:
Da A diagonalisierbar (und damit ähnlich zu einer Diagonalmatrix C) ist, B jedoch nicht, können A und B nicht ähnlich sein.

jenau, joachim sagt es ...

pmji... ich habe das gleiche ergebnis gehabt wie der zypressenhaufen und habe wg. diktators posting gerade wie blöde rumgesucht, wo mein fehler liegt... das kann ich jetz wohl aufhören. :O thx joachim

und meine frage:

man muss ja diese matrix T bzw. T^-1 suchen um ähnlichkeit zu zeigen. gibt es davon unendl. viele oder nur genau eine? weil T folgt ja bei unserem verfahren aus der matrix der l.u. eigenvektoren aber die sind ja immer unterschiedlich abhängig davon, was ich jetz als laufvariable wähle... hm bissl wirr..

also nochmal: man kann ja unterschiedl. eigenvektoren sich überlegen. und damit unterschiedl. matrizen T erhalten sind die dann alle zwangsweise vielfache voneinander?



cowhen

Japan hat gewonnen!

.. aber ich komme mit Aufgabe 2b irgendwie nicht klar. Hat da jemand nen einfachen, trivialen, gut zu verstehenden, lösbaren und möglichst auch richtigen Ansatz?

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Original von Mieks
.. aber ich komme mit Aufgabe 2b irgendwie nicht klar. Hat da jemand nen einfachen, trivialen, gut zu verstehenden, lösbaren und möglichst auch richtigen Ansatz?

Wir führen einen indirekten Beweis (Beweis durch Widerspruch).

Annahme: Die nxn-Matrix A ist diagonalisierbar.

Ist A also diagonalisierbar, dann besteht die entsprechende Diagonalmatrix nur aus Nullen (da Null ja der einzige Eigenwert von A ist, siehe Teil a). Oder anders gesagt: Die Dimension des Eigenraums zum Eigenwert 0 ist n.

Betrachten wir A nun als Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung, so bedeutet das, daß jeder Vektor x aus dem R^n auf den Nullvektor abgebildet wird.


Frage: Wie sehen Darstellungsmatrizen aus, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbilden? Und was folgt daraus?



HTH,
Joachim

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Original von Joachim
Frage: Wie sehen Darstellungsmatrizen aus, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbilden? Und was folgt daraus?

Das kannste aber so nicht abgeben, musst schon selbst zuendebringen den Beweis...
*müdegrins*

@mieks:
Japan is ja auch geil !
gutes spiel, gutes tor, König Fussball ganz gross dabei!

@mathe:
[...]

@ mieks + infominist

schuhmacher hat auch gewonnen...

noch mal @ mieks + infominist

äh, es sieht vielleicht nicht so aus, aber ich habe oben bereits die komplette lösung zu 2 a+b hingeschrieben...