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Tara

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1

Wednesday, June 26th 2002, 4:09pm

LinAB Übung 11

Zu 1)

Ich hab mal versucht das wie in der Übung auszurechnen. Dieser Versuch ist leider missglückt.

Kann mir vielleicht wer erklären, woher ich weiß, ob der Eigenwert nun + oder - 1 ist?

Und was ist wenn der Rang = 3 ist und somit die dim = 0. Wie komm ich dann auf die einzelnen Vektoren des spans? Die gibt es dann nicht?!
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Zypressen Hügel

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2

Thursday, June 27th 2002, 11:25pm

ich versuch mich mal am ersten teil der frage, aber ohne gewähr. wenn ich das richtig sehe, weiss man, dass +1 eigenwert ist, weil eine matrix der form blablabla angeben werden soll, für die M_B^B(f) gilt. in dieser matrix steht oben links eine eins. wenn ich B auf die matrix anwende und in B dargestellt der vektor (1. komponente) 1,0,0 steht, muss doch zumindest ein vektor aus B genau auf sich selber abgebildet werden.

?( oder?
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MAX

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3

Saturday, June 29th 2002, 2:08pm

Also

Ich weiß zwar auch nicht, wie man so auf Anhieb sehen kann, ob man 1 oder -1 benutzen soll, aber durch ausprobieren klappt es schon.
@Tara
lambda=1 ist ein Eigenwert. Ich schätze, du hast einfach das Vorzeichen verwechaselt. Aufpassen, es ist det(A - lambdaE). Also wirklich eine Eins abziehen. Bei lambda=-1, wird eine Eins aufadiert. Und vor der Matrix 1/4 nicht vergessen.
Für 1 habe ich genau die gleiche Basis B rausgekriegt, wie in der Übung und dann alles genau so schön eingesetzt und ausgerechnet und für M_B_B folgendes rausgekriegt:

Source code

 
1
2
3

/1         0           0\
|0   sqrt(3)/2      -1/2|
\0       1/2   sqrt(3)/2/

Also alfa=Pi/6

Kann das eventuell jemand bestätigen/widerlegen?
mfg
MAX
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Zypressen Hügel

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4

Saturday, June 29th 2002, 3:19pm

@ max

hm, ich find im moment meinen fehler nicht, wenn ich denn einen gemacht haben sollte... ich habe -1/2 und 1/2 genau vertauscht raus, also insgesamt eine drehung um 11/6 pi...

mal sehen :(
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Zypressen Hügel

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5

Saturday, June 29th 2002, 3:46pm

hm, ist ja interessant. ich habe gerade eine lösung von jemandem zugeschickt bekommen, der genau das gleich wie max raushat. der einzige unterschied zu mir ist, dass bei wahl der ersten beiden basisvektoren 1/sqrt(2)*(1,-1,0) und (0,0,1) bei MAX und der lösung, die ich noch erhalten habe, das kreuzprodukt 1/sqrt(2)*(1,-1,0) X (0,0,1) gebildet wurde, ich habe aber genau andersrum gerechnet: (0,0,1) X (1/sqrt(2)*(1,-1,0). entsprechend kommt genau der negative dritte basisvektor raus.

weiss irgendjemand, wer denn nun recht hat? ?( ?( ?(
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Zypressen Hügel

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6

Saturday, June 29th 2002, 3:52pm

shit, ich merke gerade, dass das ganze wahrscheinlich mit dem rechtssystem des kreuzproduktes zu tun hat. noch mal reinvertiefen *grummelwürg*

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MAX

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7

Saturday, June 29th 2002, 4:51pm

Aufgabe 2

Für die zweite Aufgabe erste Gleichung habe ich folgendes raus:
(y1)^2+1/4*(y2)^2=1
und für die zweite Glechung:
5/16*(y2)^2=1
Kann es sein?

mfg
MAX
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Joachim

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8

Saturday, June 29th 2002, 6:47pm

Quoted

Original von MAX
Für die zweite Aufgabe erste Gleichung habe ich folgendes raus:
(y1)^2+1/4*(y2)^2=1
und für die zweite Glechung:
5/16*(y2)^2=1
Kann es sein?
Ja, habe ich zumindest auch raus. Dein zweites Ergebnis kann man aber noch vereinfachen.
The purpose of computing is insight, not numbers.
– Richard Hamming, 1962
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MAX

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9

Saturday, June 29th 2002, 7:49pm

JIPI!!!!

Cool!!!
Dann ist die erste Kurve eine Elipse und die zweite: es sind zwei parallele Geraden, die parallel zu x Achse verlaufen. Oder???
mfg
MAX
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Joachim

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10

Saturday, June 29th 2002, 7:52pm

Quoted

Original von MAX
Dann ist die erste Kurve eine Elipse und die zweite: es sind zwei parallele Geraden, die parallel zu x Achse verlaufen. Oder???
Aber nicht parallel zur karthesischen x-Achse, sondern parallel zur Achse, die dein erster Eigenvektor bildet.
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MAX

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11

Saturday, June 29th 2002, 7:56pm

Aha!!!

Interessant, interessant! Eigentich klar, aber man sollte es auch im Auge behalten! Danke!
mfg
MAX
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Diktator

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12

Sunday, June 30th 2002, 9:37am

Quoted

Original von MAX

(y1)^2+1/4*(y2)^2=1
und für die zweite Glechung:
5/16*(y2)^2=1


ich hab mal fragen:

1.) wenn ich beide eigenwerte berechnet habe, woher weiss ich dann, welchen ich vor y2² und welchen als faktor von y1² nehme (siehe zitat)?

2.)wozu hat wolfgang in der übung die eigenvektoren berechnet und sie normiert und was hat er damit konkret gemacht? das ist mir ein rätsel.


danke, so far.
Diktator
Holzhacken ist deshalb so beliebt, weil man bei dieser Tätigkeit den Erfolg sofort sieht. - Albert Einstein
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Ali

Praktikant

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13

Sunday, June 30th 2002, 3:32pm

Ich hab mal ne frage:

Gilt:
A orthogonal <==> |det A| = 1 oder gilt nur
A orthogonal ==> |det A| = 1
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cowhen

Muuuh!

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14

Sunday, June 30th 2002, 3:42pm

Nach Skript Seite 41 Satz 7.5 gilt i.A. nur

A orthogonal ==> |det A| = 1
plenty of time to relax when you are dead
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Joachim

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15

Sunday, June 30th 2002, 3:46pm

Quoted

Original von Diktator
1.) wenn ich beide eigenwerte berechnet habe, woher weiss ich dann, welchen ich vor y2² und welchen als faktor von y1² nehme (siehe zitat)?
Das ist vollkommen egal. Man muß nur darauf achten, wie die neuen Achsen gewählt sind (x', y'). Und das hängt von der Matrix S ab mit (x, y) = S * (x', y'), bei der man die Reihenfolge der Spalten ja frei bestimmen kann. Also: Die Reihenfolge der Eigenwerte in der Diagonalmatrix hängt von der Reihenfolge der Eigenvektoren in S ab.

Quoted

2.)wozu hat wolfgang in der übung die eigenvektoren berechnet und sie normiert und was hat er damit konkret gemacht? das ist mir ein rätsel

Details zum Verfahren sind im Skript nachzulesen (Seiten 45 bis 48). Die Idee dahinter ist einfach, daß man versucht, neue (durch Drehung der kathesischen Achsen entstandene) Koordinatenachsen zu finden, in denen die Kurve in einer Form ohne gemischte Terme beschrieben werden kann. Und diese Koordinatenachsen werden durch eine Orthonormalbasis der Eigenvektoren ausgedrückt.
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– Richard Hamming, 1962
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Joachim

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16

Sunday, June 30th 2002, 3:52pm

Quoted

Original von cowhen
Nach Skript Seite 41 Satz 7.5 gilt i.A. nur

A orthogonal ==> |det A| = 1
Ein Gegenbeispiel, warum hier keine Äquivalenz gilt, ist auch schnell gefunden:

Die Matrix

Source code

 
1
2

1  1
0  1

hat zwar die Determinante 1, aber die Spaltenvektoren sind bestimmt keine Orthonormalbasis des R^2.
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Tara

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17

Sunday, June 30th 2002, 8:38pm

Hab da zu 1 nochmal ne Frage:

1/4 * (sqrt 3+2 sqrt 3 - 2 sqrt2
sqrt 3 - 2 sqrt3 + 1 -sqrt2
sqrt 2 sqrt2 2*sqrt3 -1)

Nach einigem Hin und hergerechne hab ich dann:

( sqrt3 +1 sqrt3 -2 -sqrt2
0 3-6sqrt3 3sqrt2
0 0 39*sqrt3 - 21)

Oder?
Dann ist der Rang doch 3 und die Dim= 0 ???
Und nun?
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Joachim

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18

Sunday, June 30th 2002, 8:45pm

Quoted

Original von Tara
1/4 * (sqrt 3+2 sqrt 3 - 2 sqrt2
sqrt 3 - 2 sqrt3 + 1 -sqrt2
sqrt 2 sqrt2 2*sqrt3 -1)

Dann ist der Rang doch 3 und die Dim= 0 ???
Du mußt den Vorfaktor 1/4 berücksichtigen:

Source code

 
1
2
3

1/4 * ( sqrt(3)+2-4     sqrt(3)-2     -sqrt(2)
        sqrt(3)-2       sqrt(3)+2-4   -sqrt(2) 
        sqrt(2)         sqrt(2)       2*sqrt(3)-4 )
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