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Grundsätzlich geht die Kettenregel für mehrere Veränderliche genauso wie
für eine Veränderliche: Tu einfach so, als sei z.B. bei der Ableitung nach x
die andere Variable nur eine Zahl:

z.B. f(x)=(x²+y²)²

Ableitung nach x: 2*(x²+y²)*2x

Da hier nur nach x abgeleitet wurde, fällt halt y bei der inneren Ableitung einfach weg (s.o. als ob es eine Zahl wäre).

@CrissCross: Ich glaub partielle Ableitungen sind nicht so das Problem (zumindest wenn die Funktion reellwertig ist, siehe ganz unten), die sind ja wirklich wie bei normalen Funktionen in der 12. Klasse. Wo ich damals in der Übung etwas gebraucht hab, das waren die totalen Ableitungen.

f(x, y, z) = (xy, yz)
g(a, b, c, d) = (ab, bc, cd)
Dann ist ja g : R4 --> R3 und f : R3 --> R2 und
f(g(a,b,c,d)) = (abbc, bccd) = (ab²c, bc²d)
so, wenn du das jetzt Ableiten willst, dann findest du ja im Skript unter 10.17 sone lustige Formel
Da steht: Wenn du die i-te Komponente von f(g(whatever)) (whatever ist die Stelle an der du die Ableitung berechnen willst, also ein Vektor) nach der j-ten Veränderlichen von f(g(a,b,c,d)) ableiten willst, dann machst du folgendes :

1. Leite die i-te Komponente von f nach der k-ten Veränderlichen von f ab und setze da dann g(whatever) ein.
   
2. Das multiplizierst du mit der Ableitung der k-ten Komponente von g nach der j-ten Veränderlichen von g und setzt da whatever ein.
   
3. Das machst du für jede Veränderliche von f einmal (das heißt einmal für alle k von 1 bis Anzahl der Veränderlichen von f) und summierst die so erhaltenen Terme auf.
   

In dem Beispiel von oben sieht das dann so aus:
Wenn du jetzt z. B. die erste Komponente von f(g(a,b,c,d)) (also ab²c, i=1) nach b (zweite Veränderliche von g, j=2) ableiten willst, dann geht das so:
xy nach x ableiten => y; dann g(a,b,c,d) in y einsetzen => bc
ab nach b ableiten => a; dann (a,b,c,d) in a einsetzen => a
das multiplizieren => abc
Also ist abc der Term für k=1. Jetzt das ganze nochmal für k=2 und k=3:
k=2:
xy nach y ableiten => x; g(a,b,c,d) einsetzen => ab
bc nach b ableiten => c; (a,b,c,d) einsetzen => c
k=3:
xy nach y ableiten => 0; g(a,b,c,d) einsetzen => 0
cd nach b ableiten => 0; (a,b,c,d) einsetzen => 0

Also ist das Ergebnis abc + abc + 0 = 2abc. Das ist also die Ableitung der ersten (von zwei) Komponente von f(g(a,b,c,d)) nach der zweiten (von vier) Veränderlichen von f(g(a,b,c,d)). Die könntest du jetzt in die erste Zeile und zweite Spalte einer 2x4-Matrix schreiben, die die Ableitung von f(g(a,b,c,d)) beschreibt.
Das Ding heißt dann Jacobi-Matrix und ist in etwa sowas wie die Steigung die du bei einer normalen Funktion mithilfe der Ableitung ausrechnen kannst. Nur dass die Steigung hier halt eine Matrix ist.

Was man vielleicht noch wissen sollte ist der Spezialfall wenn du eine Funktion hast, die einem Vektor eine Zahl zuordnet, also z.b.
f(x,y,z) = x+y²+z³, f : R3 --> R
Dann ist die Ableitung einfach der Gradient der Funktion, sprich die Jacobi-Matrix hat nur eine Zeile und n Spalten, in diesem Fall 3:
f'(x,y,z) = (1, 2y, 3z²)
Klar wie man darauf kommt?

Alle Angaben wie immer ohne Gewähr

so genau hab ich mir die aufgabe grade nicht angeschaut, aber an der Stelle ist das der "schlimmstmögliche fall" ... dafür gabs auch keine formel für iirc, man musste da irgendwie kombinieren ....

Quoted

Original von Currywurst mit Pommes
http://www.analysis.uni-hannover.de/~kas…/LosB_Jul06.pdf

Auf Seite 2 wird das Restglied abgeschätzt. Mit der ersten Zeile komme ich auch klar. Aber wie komme ich auf die zweite Zeile,

(1) Die äußere Betragsbildung wird nach innen gezogen und somit auf die Summanden angewendet. Durch diese Operation wird der gesamte Ausdruck allenfalls größer. Also |a + b| <= |a| + |b|.

(2) Dasselbe macht man für die einzelnen Faktoren: |a * b| <= |a| * |b|.

(3) |sin(...)| und |cos(...)| sind durch 1 nach oben beschränkt und können daher durch 1 abgeschätzt werden.

TOP ANTWORT von Schokoholic!!! Hat mir wirklich weiter geholfen. jetzt versteh ich auch Definition im Buch!!!!