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Wanja

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1

15.02.2009, 12:15

frage stochastik: dichtefunktion

ich hab hier ne alte klausur und da gibt's die folgende Aufgabe:

Die Zufallsgröße X sei standardnormalverteilt mit der Dichtefunktion: f(x) = 1/sqrt(2*pi) * e^(-x²/2) , -oo < X < oo

"oo" soll unendlich heissen

Frage: Bestimmen sie eine Dichtefunktion zu |X|

Kann mir die mal wer erklären ? :)

mfG Wanja

Scooby22

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2

15.02.2009, 12:47

Vermute einfach, das du ne 2 vorschreibst und dann die Grenze von 0 anfängst, da es egal ist was du für x einsetzt x² ist immer positiv.
Hoffe ich konnte das richtig rüberbringen.

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Wanja

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3

15.02.2009, 14:23

also:

f(x) = 2 * (1/sqrt(2*pi) * e^(-x²/2)) , 0 < X < oo

oder wie? 8|

mfg Wanja

Scooby22

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4

15.02.2009, 15:46

Würde ich sagen.
Alles andere ergibt für mich keinen Sinn.Sehe im Moment keine andere Lösung

ogniute

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5

16.02.2009, 21:50

also an der Aufgabe saß ich auch noch dran. Habs auch nicht richtig hingekriegt. Rein theortisch is f(x) ja schon die Dichtefunktion zu X wenn man nun den betrag von X haben will war das erste was mir eingefallen ist einfach den Betrag einzusetzen. Das mit 2 mal glaub ich auch irgendwie nicht. 1. wäre es zu einfach und 2. glaub ich nicht, dass die Ergebnisse dann richtig sind. Meins muss auch falsch sein. Ist echt mal zu einfach gedacht. Die Aufgabe gibt in der Klausur halt 3 Punkte und das ist die höchste Punktzahl für ne Teilaufgabe. Meine Vermutung war, da man vorher schon den Erwartungswert vom Betrag von X berechnet, dass man dies anwenden muss, um dann die Dichtefunktion daraus zu bekommen. Danach wollt mein Kopf nicht mehr denken. Wenn ich noch was rausfinde werde ich es posten. Ich hoffe, dass wenn jmnd. anders die Lösung hat, dies auch postet.

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6

17.02.2009, 09:38

Rein theortisch is f(x) ja schon die Dichtefunktion zu X wenn man nun den betrag von X haben will war das erste was mir eingefallen ist einfach den Betrag einzusetzen. Das mit 2 mal glaub ich auch irgendwie nicht. 1. wäre es zu einfach und 2. glaub ich nicht, dass die Ergebnisse dann richtig sind. [...] Meine Vermutung war, da man vorher schon den Erwartungswert vom Betrag von X berechnet, dass man dies anwenden muss, um dann die Dichtefunktion daraus zu bekommen.
Naja, Mathematik ist keine Frage von Glauben oder Vermutungen. Anstatt Rumzuraten könnte man auch einfach mal klar machen, was überhaupt eine Dichtefunktion ist:

Angenommen, X ist irgendeine Zufallsvariable mit Dichtefunktion f. Dann hängen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß X einen Wert im Intervall [a, b] annimmt, und f ja wie folgt zusammen:
.


Nun machen wir uns mal Gedanken über die Verteilung von |X|. Für das Intervall [c, d] mit gilt ja folgendes:
.

Da die Intervalle [c, d] und [-d, -c] disjunkt sind, sind und disjunkte Ereignisse (wer nicht weiß, was disjunkte Ereignisse sind sollte dies am besten JETZT nachschlagen). Daher gilt nun:
.

Insgesamt also:
.

Die Dichte von |X| erhält man dann durch Ableiten, also hier im großen und ganzen durch Weglassen des Integralzeichens.

Ist X nun normalverteilt mit Erwartungswert 0, so taucht das x in f(x) nur als Quadrat auf, was dann zur bereits angesprochenen Lösung "Dichte von X mal 2" führt.

Alles klar?
The purpose of computing is insight, not numbers.
Richard Hamming, 1962

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Wanja

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7

17.02.2009, 22:09

woah danke sehr ausführlich :)