Fachrat Informatik - Forum

ich habe da einen anderen ansatz gemacht:

0)bestimme parameter darst.
1)bestimme part. ableitungen.
2)bestimme kreuzprodukt der part. ableitungen --> normalenvektor an die tang. ebenen
3) bilde (1,0,0) - parameter darst. --> vekor zwischen 1,0,0 und dem berührpkt. den nenne ich mal V
4) V * normalenvektor von oben =0
5) umroformen nach y
müsste y= +- sqrt(2x-x^2)


cowhen

Quoted

Original von AnyKey

Quoted

Original von cowhen
5) umroformen nach y
müsste y= +- sqrt(2x-x^2)

Ok, das hatte ich ja auch raus, nur was sagt mir das ??

Das sagt dir folgendes:

Alle Punkte (x, y, x^2 + y^2), die diese Gleichung erfüllen, haben eine Tangentialebene an das Paraboloid, die den Punkt (1, 0, 0) schneidet.

Man könnte also die o. g. Beziehung zwischen y und x einsetzen und erhält eine Kurve (in Abhängigkeit von x oder y), auf der alle Punkte liegen, deren Tangentialebene an das Paraboloid den Punkt (1, 0, 0) schneidet. Man erhält dann z. B. folgende Kurve:

(x, +- sqrt(2x-x^2), 2x)


Um zu klären, ob es unendlich viele solche Berührpunkte gibt, muß man sich überlegen, wieviele Punkte denn auf dieser Kurve liegen ...

Und daß alle diese Berührpunkte in einer Ebene liegen, kann man nachweisen, indem man zeigt, daß die o. g. Kurve in einer Ebene liegt.

oder man macht es sich leicht mit dem nachweis, dass die berührpunkte in einer ebene liegen, indem man sich den berührpunktvektor scharf ansieht und merkt, dass alle lösungen auf (x,y,2x) liegen bzw. auf einem gebilde, dass in parameterform z = 2x lautet und das ist, oh wunder, eine zur y-achse parallele ebene. y=+-sqrt(2x-x^2) ist die projektion der berührpunkt-kurve auf diese ebene, und dass es sich dabei um eine ellipse handelt, ist nicht besonders schwer zu sehen. dass eine ellipse mehr als einen punkt enthält, wenn eine ihrer halbachsen > 0 ist, ist auch klar. nimmt man sich dann noch die kompaktheit der reellen zahlen her, hat sich die frage nach der unendlichkeit der lösungsmenge auch von selbst erledigt...

Quoted

Original von AnyKey

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Das sagt dir folgendes:

Alle Punkte (x, y, x^2 + y^2), die diese Gleichung erfüllen, haben eine Tangentialebene an das Paraboloid, die den Punkt (1, 0, 0) schneidet.

Das würde ja heissen, das ALLE Punkte des Paraboloiden eine Tangentialebene haben, die den Pkt(1,0,0) enthalten.
Dem ist aber nicht so !
Weil die auf der "anderen" Seite gelegenen (x=-irgendwas) haben das ja nicht !!

Ich sagte ja auch, daß alle Punkte (x, y, x^2 + y^2), die diese (das hieß im dortigen Kontext "oben genannte") Gleichung erfüllen, eine Tangentialebene an das Paraboloid haben, die den Punkt (1, 0, 0) schneidet. Also:

(x, y, x^2 + y^2) in Kombination mit y= +- sqrt(2x-x^2)

Durch Einsetzen kommt man dann auf die von mir beschriebene Kurve.