ich habe auch noch Probleme bei der 1. Aufgabe bei Teil c) und zwar wie kommt man denn da auf das Intervall von (-2/n , 0) und (0 , 2/n) bei der Überprüfung, ob s(x) stetig diffbar ist? Achja und wie bekommt man dann bei Teil d) die Koeffizienten c und d heraus? Welchen Wert muss man denn da für n einsetzen? Hab da überhaupt keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll
ich bin für jede Hilfe dankbar!
Hi
das Intervall -2/n,0 bekommst du heraus, wenn du dir hi anguckst, also die Schrittweite für unterschiedliche n's. Für n=4 haben wir z.B. die Schrittweite 1/2.
Die Koeffizienten von c/d:
Du kannst entweder ein LGS aufstellen, oder die Koeffizienten "durch scharfes Hinsehen" erkennen.
LGS:
Wir sollen einen natürlichen kubischen Spline s erstellen, der die Funktion f interpoliert. Was sind die Bedingungen? Wir betrachten die Verbindungsstellen:
f(0)=s(0)
f'(0)=s'(0)
f''(0)=s''(0)
Man sieht, dass f''=0 ist. Somit haben wir zwei Gleichungen für ein LGS:
f(0) = 0 = c*x + d
f'(0) = -1 = c
Dieses LGS lösen bringt dich auf die Werte für die Koeffizienten.
Zur Lösung "durch Hinsehen":
Im ersten Definitionsbereich ist die Funktion -x. Welche Funktion im zweiten Definitionsbereich ist kubisch und interpolierend? Naja, eben -x, also c=-1 und d=0. Wir hätten dann ja quasi die "durchgehende" Funktion -x in beiden Definitionsbereichen und -x ist ja auch ein Polynom. Von einem Polynom wissen wir, dass es beliebig oft stetig diffbar ist und wir wissen, dass ein Polynom vom Grad 1 (-x ist das offensichtlich) auch ein Polynom vom Grad 2 und Grad 3 ist, weil für ein beliebiges Polynom p(x) gilt:
p(x) = a + b*x + c*x² + ... Wenn wir b=-1 und alle anderen Koeffizienten Null wählen, dann haben wir ja gerade -x und weil wir a,c=0 gewählt haben ist unser kubisches Polynom:
p(x) = 0 + (-1)*x + 0*x².
und somit kubisch.
Dass -x ein natürlicher Spline ist ergibt sich aus f''(x) = s''(x) = 0.
Das haben wir in Übung 2.3 so gemacht (wurde aber leider in der Übung nicht vorgerechnet)...
Ich glaube, Christine meinte es nur gut, aber so wirklich geholfen hat es, wie du sagtest, wirklich nicht...
