ich habe auch noch Probleme bei der 1. Aufgabe bei Teil c) und zwar wie kommt man denn da auf das Intervall von (-2/n , 0) und (0 , 2/n) bei der Überprüfung, ob s(x) stetig diffbar ist? Achja und wie bekommt man dann bei Teil d) die Koeffizienten c und d heraus? Welchen Wert muss man denn da für n einsetzen? Hab da überhaupt keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll
ich bin für jede Hilfe dankbar!
Hi
das Intervall -2/n,0 bekommst du heraus, wenn du dir hi anguckst, also die Schrittweite für unterschiedliche n's. Für n=4 haben wir z.B. die Schrittweite 1/2.
Die Koeffizienten von c/d:
Du kannst entweder ein LGS aufstellen, oder die Koeffizienten "durch scharfes Hinsehen" erkennen.
LGS:
Wir sollen einen natürlichen kubischen Spline s erstellen, der die Funktion f interpoliert. Was sind die Bedingungen? Wir betrachten die Verbindungsstellen:
f(0)=s(0)
f'(0)=s'(0)
f''(0)=s''(0)
Man sieht, dass f''=0 ist. Somit haben wir zwei Gleichungen für ein LGS:
f(0) = 0 = c*x + d
f'(0) = -1 = c
Dieses LGS lösen bringt dich auf die Werte für die Koeffizienten.
Zur Lösung "durch Hinsehen":
Im ersten Definitionsbereich ist die Funktion -x. Welche Funktion im zweiten Definitionsbereich ist kubisch und interpolierend? Naja, eben -x, also c=-1 und d=0. Wir hätten dann ja quasi die "durchgehende" Funktion -x in beiden Definitionsbereichen und -x ist ja auch ein Polynom. Von einem Polynom wissen wir, dass es beliebig oft stetig diffbar ist und wir wissen, dass ein Polynom vom Grad 1 (-x ist das offensichtlich) auch ein Polynom vom Grad 2 und Grad 3 ist, weil für ein beliebiges Polynom p(x) gilt:
p(x) = a + b*x + c*x² + ... Wenn wir b=-1 und alle anderen Koeffizienten Null wählen, dann haben wir ja gerade -x und weil wir a,c=0 gewählt haben ist unser kubisches Polynom:
p(x) = 0 + (-1)*x + 0*x².
und somit kubisch.
Dass -x ein natürlicher Spline ist ergibt sich aus f''(x) = s''(x) = 0.
Das haben wir in Übung 2.3 so gemacht (wurde aber leider in der Übung nicht vorgerechnet)...