Fachrat Informatik - Forum

Also ich hab mir seit gestern Abend mal ein paar Gedanken dazu gemacht, aber zu einem richtigem Ergebniss bin ich auch nicht gekommen. Meine grundlegende Idee war das man eine
Matrix A^0=E
hat mit dem Vorfaktor
a0=1
damit hat man dann schonmal die a0,a1....,ak nicht alle Null Bedingung ausgehebelt, somit braucht im Umkehrschluss nur mindestens eine von den Zahlen ungleich Null zu sein. Jetzt kann man alle anderen Vorfaktoren gleich Null setzen, bis auf x Faktoren die aus bestimmten Matrizen eine Matrix erzeugen die auf Ihrer Diagonalen nur -1 stehen hat (-E).

Letztlich sähe das dann in etwa so aus:

a0*A^0 = E Plus z.B. a5*A^5 +a19*A^19+a45*A^45=-E

=> E-E = 0

Ich würde nicht alsoviel darauf geben, das ist gestern Nacht um 1 entstanden.

Wofür ich bisher noch keine Idee habe, ist wie ich das beweisen soll, aber generell müste doch durch die Vorfaktoren und beliebiege Matrizenkombination eine Matrix der Form -E erzeugbar sein.

Denkt euch die Matrix mal als Vektor, wieviele lin. unabh. Vektoren gibt es dann wohl?

Also die Dimension des Raumes R^(n,n) ist ja n^2.
D.h. , dass es n^2 linear unabhängige Matrixen der Form (n x n) gibt.
Wenn du jetzt k groß genug wählst, hast Du irgendwann (n^2)+i Matrizen, die dann linear abhängig sind.

Vielleicht hilft Dir das ja weiter

Quoted

Original von vier

Quoted

Original von smeyer82
Also die Dimension des Raumes R^(n,n) ist ja n^2.
D.h. , dass es n^2 linear unabhängige Matrixen der Form (n x n) gibt.
Wenn du jetzt k groß genug wählst, hast Du irgendwann (n^2)+i Matrizen, die dann linear abhängig sind.

aber doch erst wenn k großer als n² ist oder?

k=n^2 reicht schon -- der "Matrizenvektor" hat ja k+1 Komponenten.

Quoted

ich krieg da trotzdem keine für mich brauchbare formel draus die ich zb in aufgabenteil b benutzen könnte

Gegeben ist, daß a_0 != 0.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Für alle anderen a_i gilt a_i = 0, dann ist A ein Vielfaches der Einheitsmatrix, somit also invertierbar.

b) Mindestens ein anderes a_i ist ungleich 0. Dann kann man eine bestimmte zugehörige Matrix A^i vor die Summe ziehen und erhält nach einiger Umformung:

E = A * X

X ist dabei wieder eine Matrix. Nun sollte klar sein, worum es sich bei X handeln muß.

@ Joachim

Quoted

Gegeben ist, daß a_0 != 0.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Für alle anderen a_i gilt a_i = 0, dann ist A ein Vielfaches der Einheitsmatrix, somit also invertierbar.

das verstehe ich nicht ganz,

wenn a_0 != 0 und alle anderen a_i = 0, dann würde da ja stehen:

a_0 * E = 0 und das kann ja nicht gehen, oder?

man muß doch mit der Gleichung von 2 a) arbeiten, oder?

<---- Entweder
Oder ---->

ist ja jetzt eh zu spät

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Original von Prof_NARF

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Gegeben ist, daß a_0 != 0.

Nun gibt es zwei Möglichkeiten:

a) Für alle anderen a_i gilt a_i = 0, dann ist A ein Vielfaches der Einheitsmatrix, somit also invertierbar.

das verstehe ich nicht ganz,

wenn a_0 != 0 und alle anderen a_i = 0, dann würde da ja stehen:

a_0 * E = 0 und das kann ja nicht gehen, oder?

Mein Fehler. Der Fall a) entfällt natürlich.