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Die Matrix sieht allgemein so aus:

a11 a12 a13 ... a1k
a21 a22 a23 ... a2k
: : : :
ai1 ai2 ai3 ... aik

mit aik = i+k für 1=< i , k =< n

und (weil nxn-Matrix) max n Spalten, n Zeilen.

Also ist A = (aik)

2 3 4 ... (k+1)
3 4 5 ... (k+2)
4 5 6 ... (k+3)
5 6 7 ... (k+4)
: : : :
(1+i) (2+i) (3+i) ... (k+i)

So (ähnlich) sieht die Matrix aus (ich hoffe, das System ist erkennbar). Also ist der Rang der Matrix leicht bestimmbar: Man prüft auf lineare Unabhängigkeit (Zeilenstufenform). Man rechnet Zeile 1 mal -3 und Zeile 2 mal 2, addiert beide usw. und erzeugt sich so die Nullen.

Habs noch nicht gerechnet, aber irgendwas tolles sieht man bestimmt schon nach zwei oder drei Zeilen. Mal sehen.

Hoffe, ich konnte helfen. Gruß, Eike

imho hat die matrix die form:

2 3 4 5 ..... 1+n
3 4 5 6......2+n
4 5 6 7.....3+n
.
.
n+1 n+2.....n+n
wenn ich nach schema f vorgehe um mir zsf zu erzeugen geschieht das:

2 3 4 5...
0 1 2 3
0 1 2 3
0 1 2 3
naja... logisch das der nächste schritt das:

2 3 4 5.....1+n
0 1 2 3 .....n-1
0 0 0 0 .. 0
.
.
0 0 0 0......0
ergibt.

damit ist der rang der matix imho 2.


irgenwelche fehler im obigen gefunden?
dann postet!

cu

cowhen

Quoted

Original von cowhen
irgenwelche fehler im obigen gefunden?

Kleinigkeit nur:
Wenn n = 1, ist der Rang natürlich nicht 2...

Quoted

Wenn n = 1, ist der Rang natürlich nicht 2...

ja natürlich...logisch...hat ich noch garnich drüber nachgedacht....

joachim, du bist der mathe chegger!

Danke - das ist aber in erster Linie Übungssache.

Also:
Vor der Klausur noch möglichst viele (und vor allem nicht allzu einfache) Aufgaben rechnen und dann klappt das schon...
Die Theorie dahinter ist ja nicht wirklich schwierig.

Das habe ich so auch...
Aber was bitte ist bei Aufgabe 2 zu tun??

Zeilenstufenform, ok. Aber wie geht's denne weiter?!?

Wäre dankbar für Anregungen...

...

ok. habe jetzt die Aufgabe richtig gelesen...

Aber da kommt ein recht wildes Ergebnis raus...

Quoted

Original von breuti
Aber da kommt ein recht wildes Ergebnis raus...

Wie man's nimmt...

Ich komme auf
span{ ((2a+1), (-a-1), -1, -1, (a+1)) }

Das a soll natürlich alpha heißen... und das rote ist EIN Vektor (mit 5 Komponenten).


Wahrscheinlich sieht dein Lösungsvektor so wild aus, weil du noch nicht mit einem passenden Wert multipliziert hast, um die Brüche loszuwerden... Falls ich mich irre, dann kannst du ja mal deine Lösung posten.

tag!

habe das im prinzip auch so heraus (bis auf eine element das bei mir irgendwie mit -1 multipliziert ist...).

aber muss man da nicht noch eine falunterscheidung machen? ich kriege da am ende heraus, dass der rang für alpha = 0 drei ist und für alles andere = 4.
dementsprechend ändert sich doch da auch die basis?! und ist die lösungsmenge von Ax = 0 als span () aufgeschrieben überhaupt die basis des lösungsraums?

gruss Jens

@compost:

Hast recht. Habe die Sonderfälle alpha = 0 und alpha = -1 vergessen (naja, nicht wirklich vergessen, habe halt angenommen, daß es keine Sonderfälle sind):

Für alpha = -1 ergibt sich aber wieder die o. g. Lösungsmenge. Ist also egal.

alpha = 0 ist in der Tat ein Sonderfall, für den es eine eigene Lösung (mit zwei freien Variablen) gibt.


Als span kann man die Lösungsmenge eines homogenen Gleichungssystems auf jeden Fall schreiben. Ist ja nix anderes als alle Linearkombinationen der im Argument des span enthaltenen Vektoren.

In dieser Aufgabe ist nach der Basis gefragt, da hast du schon recht. Eigentlich darf man hier nur den o. g. Vektor als Menge angeben (und natürlich den Sonderfall). Vielleicht ändere ich das noch auf meinem Zettel.


Danke für den Hinweis.

den lösungsraum hab ich auch, aber die sonderfälle versteh ich nicht...man kann doch auch ohne gewisse brüche auf die ergebnisse kommen

und a=0 v a=-1 gehn so doch auch schön

was solln das
da hab ich keine lust mehr drauf jetzt, menno wenn ich euch erwische

liest eh keiner mehr
danke...hat mir geholfen mal wieder

gruss

Auch wenn's zu spät ist:

Quoted

Original von Informatik Minister
den lösungsraum hab ich auch, aber die sonderfälle versteh ich nicht...man kann doch auch ohne gewisse brüche auf die ergebnisse kommen

Klar kann man, war ja auch nur eine Vermutung...

Quoted

und a=0 v a=-1 gehn so doch auch schön

Eben nicht.
a=-1 ist in der Tat nicht von Bedeutung, aber für a=0 verändert sich der Rang der Matrix und damit auch die Dimension des Lösungsraumes (siehe letzte Vorlesung).

Aber ist jetzt ja auch egal...

also ich hab die dann doch noch als Sonderfall enttarnt und einfach von anfang an mit gesetztem a gerechnet

da hab ich für beide fälle dann 2 freie variablen und damit dann ne schöne basis zum lösungsraum von

lamdba(blabla) + kappa(blibli)

fand ich einleuchtend....

du hast also bei der letzten matrix (der umgeformten) geguckt, welche pivots geändert werden, und nur auf den rang der matrix geachtet....ist das ausreichend in bezug zum lösungsraum

hmmm, eigentlich einleuchtend...

naja, sag mal deine meinung zu a=0 und a=-1 in die ggb. matrix einsetzen und einfach durchrechnen

schönen dank und tag

Wolfram

Quoted

Original von Informatik Minister
also ich hab die dann doch noch als Sonderfall enttarnt und einfach von anfang an mit gesetztem a gerechnet

Habe ich eben auch mal gemacht.

Quoted

da hab ich für beide fälle dann 2 freie variablen und damit dann ne schöne basis zum lösungsraum von

lamdba(blabla) + kappa(blibli)

fand ich einleuchtend....

Aber nur für den Fall a=0. Für a=-1 ergibt sich:

x2 = x5 = 0
x1 = -x3 = -x4

Die Dimension ist hier also 1. Oder irre ich mich da?

Quoted

du hast also bei der letzten matrix (der umgeformten) geguckt, welche pivots geändert werden, und nur auf den rang der matrix geachtet....ist das ausreichend in bezug zum lösungsraum

Genau. Um die Dimension des Lösungsraumes in Abhängigkeit des Parameters zu erkennen, reicht das. Und dann kann man in die umgeformte Matrix die möglichen Sonderfälle einsetzen und ausrechnen, wie dann die Lösung aussieht.

Quoted

naja, sag mal deine meinung zu a=0 und a=-1 in die ggb. matrix einsetzen und einfach durchrechnen

Geht natürlich, dauert nur länger... Kannst auch gleich in die umgeformte Matrix einsetzen. Die hast du ja sowieso...

nun gut, abgegeben isse, wenn die noch gewertet wird (für den bonus) brauch ich 15 punkte, und die wird mir der gute eugen bestimmt gewähren (ich tu nur so, als würd ich den persönlich kennen...auch für mich ein mann ohne gesicht)

und jetzt mal ganz kurz was anderes....

beim spaltenraum kann man nach der umgeformten matrix auswählen, welche vektoren aus der originalmatrix die basis darstellen, richtig?

da hat ja ebeling auch seine probleme mit gehabt, und meine aufzeichnungen sagen widersprüchliches

ich forme die matrix um auf ZSF
=> rang vom ZR = rang SR = rang A
=> zeilenraumbasis sind in der umgeformten matrix die lin. u. vektoren

aber wie komm ich jetzt genau auf die spaltenbasis

man muss die ja der original matrix "entnehmen", aber man kann an der ZSF matrix 100pro erkennen, welche lin. a. sind und somit wegfallen (bzw. beliebig getauscht werden können...)

richtig?
finde auch sonst relativ wenig zum begriff spaltenraum....
theoretisch logisch wie der zeilenraum, nur haperts irgendwo
und sind alle gaussschen umformungen erlaubt bei der suche nach zeilen-spalten-lösungsraum ?!?

Quoted

Original von Informatik Minister
beim spaltenraum kann man nach der umgeformten matrix auswählen, welche vektoren aus der originalmatrix die basis darstellen, richtig?

Klingt logisch. Ich werde mal versuchen, das irgendwie zu beweisen...

Ja, kommt hin.

Spaltenvektoren, die sich in ZSF durch Linearkombination der anderen Spaltenvektoren erzeugen lassen, sind auch auch in der Ausgangsmatrix auf diese Weise erzeugbar (sind also für die Basis des Spaltenraums nicht von Bedeutung).

Das macht die ganze Rechnerei doch gleich angenehmer...