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Original von sr409
Merziger Repetitorium Aufgabe 5.114 (S. 161)

Ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Ich weiß wie ich den Richtungsvektor der Gerade errechne, aber wie ich dann auf das Endergebnis (Geradenschar) kommen soll.......wo muss ich was einsetzen ?

Für den Richtungsvektor ergibt sich (0, 1, -1). Nun kennen wir die Richtung der gesuchten Geraden, jedoch sind alle Geraden, die durch parallele Verschiebung innerhalb der Ebene x + y + z = -1 entstehen, auch mögliche Lösungen.

Wir suchen uns zunächst eine beliebige spezielle Lösung (also erstmal ohne Berücksichtigung der möglichen Verschiebung). Der Punkt (0, 0, -1) liegt offensichtlich in der gerade genannten Ebene. Demnach ist (0, 0, -1) + t*(0, 1, -1) eine mögliche Lösung der Aufgabe.

Nun fehlt noch die Verschiebung: wir suchen uns irgendeinen Richtungsvektor, der in dieser Ebene liegt und den wir für die Verschiebung verwenden können (er darf also nicht parallel zum Richtungsvektor der Geraden sein). Der Einfachheit halber nehmen wir (-2, 1, 1) -- er liegt in der Ebene und ist senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden.

Es ergibt sich also als allgemeine Lösung:
(0, 0, -1) + a*(-2, 1, 1) + t*(0, 1, -1)
= (-2a, a, a - 1) + t*(0, 1, -1)


Das ist zwar nicht die Lösung aus dem Repititorium, ergibt aber die selbe Lösungsmenge. Wenn man die angegebene Lösung erhalten möchte, wählt man (-1/3, 0, -2/3) als Punkt in der Ebene und (1/3, 0, -1/3) als "Verschiebungsvektor". Diese Werte halte ich aber für ziemlich unsinnig.