Fachrat Informatik - Forum

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Original von Finn MacCool
wenn ich von einer funktion ne ableitung hinbekomme, reicht das doch
als beweis für differenzierbarkeit, oder?

Naja, nach der Definition ist eine Funktion an der Stelle x0 differenzierbar, wenn der Grenzwert

lim x -> x0 ( (f(x) - f(x0)) / (x - x0) ) existiert.

Wenn du also in jeder beliebigen Stelle x0 die Ableitung findest, ist die diffbar.

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Original von Finn MacCool
wenn ich von einer funktion ne ableitung hinbekomme, reicht das doch
als beweis für differenzierbarkeit, oder?

Nein, Differenzierbarkeit kann auf diese Weise nicht bewiesen werden. Denn die bekannten Ableitungsregeln sind ja nur dann anwendbar (d. h. liefern ein "korrektes" Ergebnis), wenn Differenzierbarkeit vorliegt. Den Beweis führt man üblicherweise entweder wie neweb bereits schrieb über den Differentialquotienten oder nach der Methode "ich weiß, daß die fragliche Funktion auf zulässige Weise aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist, also ist sie differenzierbar". Ersteres ist aber definitiv zu bevorzugen, wenn die Erfahrung mit sowas fehlt.

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Original von Finn MacCool

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Original von Joachim
...oder nach der Methode "ich weiß, daß die fragliche Funktion auf zulässige Weise aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist, also ist sie differenzierbar".

und ich dachte, das ginge nur bei stetigkeit so - na umso besser

Die Betonung liegt dabei "auf zulässige Weise". Um zu beurteilen (und natürlich auch zu begründen), was "zulässig" ist, braucht man einige Erfahrung. Wenn Du Dir unsicher bist, führe den Beweis über den Differentialkoeffizienten.

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Original von Finn MacCool

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Original von Joachim
...oder nach der Methode "ich weiß, daß die fragliche Funktion auf zulässige Weise aus differenzierbaren Funktionen zusammengesetzt ist, also ist sie differenzierbar".

und ich dachte, das ginge nur bei stetigkeit so - na umso besser
danke

Geht es auch nur. Denn eine Funktion die an einer Stelle x0 differenzierbar ist, ist an dieser Stelle auch stetig.

D.h. die Stetigkeit an der Stelle ist eine notwendige Bedingung, nicht aber hinreichend. Stetigkeit impliziert nicht Differenzierbarkeit.