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ich glaube jetz muss man einfach scharf hinkucken. wenn du die eigenräume ausgrechenet hasst, sollte einen eigenraum der dim 2 und eine der dim 1 haben
der mit der dim 2 spannt gerade eine ebene auf und du kannst durch bilden des kreuzproduktes zeigen, dass der vektor im eigenraum mit der dim 1 gerade ein normalenvektor zur ebene, die vom anderen eigenraum aufgespannt wird ist.

der normalenvektor wird auf null abgebildet. und die abbildung ist dann eine orthogonalprojektion auf die ebene, die durch den eigenraum mit der dim2 aufgespannt wird.




hth........

cowhen

ps: wenn es irgendein verfahren gibt, um sicher rauszufinden oder auszurchenen, was das für eine abb. ist dann verratet es mir bitte.

Quoted

Original von cowhen
ps: wenn es irgendein verfahren gibt, um sicher rauszufinden oder auszurchenen, was das für eine abb. ist dann verratet es mir bitte.

Ein allgemeines Verfahren wird es dafür wahrscheinlich nicht geben, aber man kann recht einfach begründen, wieso das eine Orthogonalprojektion auf eine Ebene ist:


Die drei Eigenvektoren sind linear unabhängig und spannen somit dem R^3 auf, bilden also eine Basis des R^3. Demnach läßt sich jeder Vektor aus dem R^3 durch Linearkombination der drei Eiegnvektoren darstellen.

Die beiden Eigenvektoren mit dem Eigenwert 1 (die also auf sich selbst abgebildet werden), spannen eine Ebene auf. Also wird jeder Vektor dieser Ebene auf sich selbst abgebildet.

Der dritte Eigenvektor hat den Eigenwert 0 und steht zudem senkrecht auf den anderen beiden Eigenvektoren, also senkrecht auf der besagten Ebene.

Das bedeutet, daß jeder Vektor aus R^3 in die Ebene abgebildet wird (seine Komponente senkrecht zur Ebene ist ja gleich Null). Zudem bleiben seine beiden anderen Komponenten (die ja "in der Ebene liegen") unverändert.

Und genau so eine Abbildung ist eine Orthogonalprojektion.

Quoted

Die beiden Eigenvektoren mit dem Eigenwert 1

Ich habe beide Vektoren aber mit Eigenwert 3 rausgekriegt. Sonst ist bei mir alles das gleiche, sprich l.u. und der Vektor mit Eig(A,0) steht senkrecht auf beiden. Oder verstehe ich was nicht???
mfg
MAX

villeicht hast du das 1/3 falsch in die matrix gezogen?

auf der diagonalen steht ja:

im folgenden sei L =lambda

1/3 * 2 - L = 2/3 - L = (2-3L)/ 3 = 1/3* (2-3L)


....

Ich habe zuerst 1/3 gar nicht reingezogen, sondern dann später mit dem Pol. miltipliziert. (Gleich rechne ich nach), vielleicht ist es falsch.
...Jetzt habe ich es verstanden.

Noch eine Frage zur zweiten Aufgabe:
Was soll ich dann mit den Eigenwerten tun? Ich habe drei Eigenwerte rausgekriegt. Soll man etwa drei Vektoren bilden, statt zwei? Kapiere nicht so ganz.
mfg
MAX

Quoted

Original von MAX
Ich habe zuerst 1/3 gar nicht reingezogen, sondern dann später mit dem Pol. miltipliziert. (Gleich rechne ich nach), vielleicht ist es falsch.
...Jetzt habe ich es verstanden.

max, du muss labda mit 3 multiplizieren, wenn du die determinante aufstellst, weil du ja 1/3 draussenlässt. wenn du es dann reinziehst, dann steht da
labda*3*1/3=labda*1. so ist es dann korrekt.

so far..

Quoted

Original von Joachim
...
Und genau so eine Abbildung ist eine Orthogonalprojektion.

und wie sieht dann die gleichung aus, die die abbildung beschreibt? etwa folgendermaßen:

f( (x,y,z) )= 0*x*(eigenvektor zu 0)+1*y*(1. eigenvektor zu 1)+1*z*(2. eigenvektor zu 1) ???

wäre das korrekt, oder ist hier ein logischer denkfehler?

so far..

Quoted

Original von Diktator
und wie sieht dann die gleichung aus, die die abbildung beschreibt? etwa folgendermaßen:

f( (x,y,z) )= 0*x*(eigenvektor zu 0)+1*y*(1. eigenvektor zu 1)+1*z*(2. eigenvektor zu 1) ???

wäre das korrekt, oder ist hier ein logischer denkfehler?

Das hast du nicht ausprobiert, oder? Diese Abbildung ist eine Funktion aus dem R^3 in R. Und f ist ja eine lineare Abbildung vom R^3 in den R^3, die durch eine Matrix dargestellt wird.

Aber f kann man so ausdrücken:

• entweder man benutzt direkt die Angaben aus der Aufgabe, um die Abbildung in der Standardbasis (SB)zu beschreiben:
  M^{SB}_{SB}(f) = A
  
  
• oder man beschreibt sie in der Basis der Eigenvektoren:
  Sei B = {(1, 1, 1), (-1, 0, 1), (0, -1, 1)}.
  Dann gilt:
  
  

  	Source code
  1 2 3	B ( 0 0 0 ) M (f) = ( 0 1 0 ) B ( 0 0 1 )

  
  (in den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Einheitsvektoren in der Basis B, also übliches Verfahren)
  
  Das ganze könnte man noch mit Transformationsmatrizen verändern. Dann ergibt sich ja:
  
  A = M^{SB}_{SB}(f) = T^B_{SB} * M^B_B(f) * T^{SB}_B

ach so. mir geht ein licht auf
danke.

welche matrix haste denn? also wovon hast du die determinante berrechnet?

bzw: nimm folgenden ansatz:

du musst hierbei den vorfaktor mit einem ^3 exponenten versehen, also 1/27, da es sich im gegensatz zur ebeling übung (wo er den vorfaktor quadriert hat) um eine 3x3 matrix handelt.
also enthält jeder faktor der determinante 1/3 * 1/3 * 1/3 = 1/27, man multipliziert ja je 3 matrizenelemente (statt nur 2 in der übung).

dann kommste auch auf 0 und 1

zu 2:

Setze anfangs:

y3=y2'
y2=y1'
y1=y

so dass du erhälst:
y3' + 4y3 - y2 - 4y1 = 0

und dann wie in der übung