Implizit Differenzieren a.k.a. CalcA Klausur Aufgabe 4

Senior Schreiberling

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Wednesday, July 3rd 2002, 9:13pm

Könnte mir jemand schnell mal hier hinschreiben, was

x^y = 8

implizit differnziert ergibt...

Ich in meinem mathematischen Mikrokosmos (in dem Differenzieren an sich einen festen, oft besuchten Platz hat [soll heissen: an sich keine Probleme mit Ableitungen]) komme auf:

y * x^(y-1) * y` = 0

Was nicht sein kann, also mache ich etwas falsch.

Man zeige es mir auf, bitteschön!!!

PS: Ist zwar alles (ansonst gut) gelaufen, mich interessierts erstaunlicherweise trotzdem...

DANKE

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MAX

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2

Wednesday, July 3rd 2002, 9:46pm

Also!

auf der Seite 391 des roten Repetitoriums steht folgende Formel: y´=-fx/fy, das muss also die Steigung der Tangente sein.
Alles, was man jetzt brauch, ist, die Funktion ein mal nach x und ein mal nach y abzuleiten und dann einsetzten.
Also:
fx=y*x^(y-1)
fy=x^y*ln(x)
Wenn man dann die Zahlen einsetzt, bekommt man für die Steigung: y´=-3/(2*ln2)
Alles andere sollte kein Problem sein.
mfg
MAX

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Joachim

Guru

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3

Wednesday, July 3rd 2002, 10:24pm

Kann man aber auch ohne diese Formel machen:

Für x > 0 gilt:

8 = x^y
= e^(ln(x^y))
= e^(y*ln(x))

=>

0 = e^(y*ln(x)) * (y'*ln(x) + y*(1/x))
= x^y*y'*ln(x) + x^y*(y/x)
= x^y*y'*ln(x) + x^(y-1)*y

<=>

y' = -(x^(y-1)*y) / (x^y*ln(x))
= -y / (x*ln(x))

The purpose of computing is insight, not numbers.

– Richard Hamming, 1962

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Informatik Minister

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4

Wednesday, July 3rd 2002, 10:41pm

Danke!

Dann hab ich da was grossartig missverstanden...
Naja, macht auch nix, ne 1 gibts trotzdem

Aber gut zu wissen ist das in jedem Falle.

PS@MAX: hätt ich da mal reingeguckt... mist

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migu

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5

Wednesday, July 3rd 2002, 11:13pm

hehe

Ich hab mir für Aufgabe 4 was von S.267 aus dem roten Buch geklaut.
Da steht bei 12.14 (a) f(x, h(x)) = x^h(x) - h(x)^x ...
und für die Ableitung: x^h(x)*(h'(x)ln(x) +h(x)/x) - h(x)^x(...) ...
Rausgeschrieben und benutzt. Keine Eigenleistung, aber...
...hoffentlich wird das anerkannt. *bang*

Nunja, das ist ja genau das Ergebnis von Joachims Ausführungen
und es kommt ebenfalls wie bei MAX' Lösung y' = -y/(x*ln x) heraus.

Puh, dann habe ich doch noch eine Aufgabe mehr richtig.