Fachrat Informatik - Forum

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Original von cowhen
Hab mich beim nachdenken über die Aufgabe irgendwie verrant und finde keinen Ansatz. Wäre für selbigen sehr dankbar.

Z. B. so:

Zu zeigen ist ja, daß {a1,...,ak,c1,...,cl} eine Basis von span(U u W) ist. Also müssen die beiden Bedingungen aus der ersten Definition von Seite 49 des Skriptes erfüllt sein.

a) daraus, daß der Durchschnitt von span{a1,...,ak} und span{c1,...,cl} nur die Triviallösung besitzt, folgern, daß {a1,...,ak,c1,...,cl} linear unabhängig ist (mit Schnittgleichung für span{a1,...,ak}=span{c1,...,cl})

b) da jede Linearkombination der Vektoren aus U wieder ein Element aus U ergibt (aufgrund der Abgeschlossenheit von Vektorräumen gegenüber Addition und Multiplikation), folgt, daß span(U u V) = (span(span{a1,...,ak} u span{c1,...,cl})) = span{a1,...,ak,c1,...,cl}. Das muß man dann natürlich ausführlich zeigen und begründen.

Ich hoffe, das war nicht zu kompliziert.


Joachim

Hallo Joachim,
wie kommst du drauf, dass der
"Durchschnitt von span{a1,...,ak} und span{c1,...,cl} nur die Triviallösung besitzt"??
Es steht auf dem Übungsblatt anders glaube ich. Nämlich Durchschnitt von U und W = {0} , nichts von span (U) und (W) zu sehen.
Also, ich glaube die Aufgabenstellung ist falsch, oder ich sehe nicht mehr richtig.
OK dann.
Ly.

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Original von thanh
wie kommst du drauf, dass der
"Durchschnitt von span{a1,...,ak} und span{c1,...,cl} nur die Triviallösung besitzt"??
Es steht auf dem Übungsblatt anders glaube ich. Nämlich Durchschnitt von U und W = {0} , nichts von span (U) und (W) zu sehen.

Habe mich vielleicht etwas unklar ausgedrückt. Also:

Da in der Aufgabenstellung angegeben war, daß {a1,...,ak} und {c1,...,cl} eine Basis von U bzw. V ist, gilt gemäß der Definiton der Basis:

span{a1,...,ak} = U
span{c1,...,cl} = V

Da U geschnitten V nur den Nullvektor enthält, besitzt die Schnittgleichung von U und V (oder span{a1,...,ak} und span{c1,...,cl}, s. o.) nur die Triviallösung:

x1*a1 + ... + xk*ak = y1*c1 + ... + yl*cl

Das läßt sich dann einfach zur Bedingung für die lineare Unabhängigkeit umformen (und die hat dann natürlich auch nur die Triviallösung)...


HTH,
Joachim

Ich galube nicht so gant, dass das hier stimmt:
span{a1,...,ak} = U
span{c1,...,cl} = V

In der Aufgabenstellung steht, dass {a1,...,ak} eine Basis von U ist, d.h. es ist eine Teilmenge. Vielleicht verstehe ich das falsch, aber Gleich und Teilmenge, da ist doch ein Unterschied!
mfg
MAX

Ich glaube eher:

span{a1,...,ak} = span (U)
span{c1,...,cl} = span (V)

Und ausserdem:
x1*a1 + ... + xk*ak = y1*c1 + ... + yl*cl
HÄH?? WIE KOMMST DU DARAUF.
Wenn das so wäre, dann müsste die ganze Vektoren linear abhängig sein, so wollen wir doch gar nicht, oder?

Habe mich leider mit den Bezeichnungen der Vektorräume vertan. Statt V meine ich natürlich W... Dann sollte auch alles Sinn machen.

Kommt jetzt zwar etwas spät, aber ich konnte gestern (als ich meinen Fehler bemerkt habe) das Forum nicht erreichen. Schien irgendwas mit dem Nameserver nicht zu stimmen...

das thema mit der erreichbarkeit hatte wir doch schon
irgendwo anders auf dieser seite...