Beweis für Wurzel 3

Arne

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1

Saturday, October 19th 2002, 4:12pm

*EDIT* 1. Semester Calculus A Aufgabe von Donnerstag aus der Vorlesung... Beweisen dass Wurzel 3 keine rationale Zahl ist *EDIT*

irgendwie hänge ich da:

Annahme: Es existiert ein x in Q : x²=3

Es existieren p,q in Z, q!=0, p und q teilerfremd.

=> (p/q)² = 3 | *q²
=> p² = 3*q²

irgendwie muss das mit Primzahlfaktorzerlegung gehen, kenn mich damit aber nicht aus... kann mir wer helfen?

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Arne

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2

Saturday, October 19th 2002, 4:24pm

hab mir noch ein wenig den kopf zerbrochen

geht das so (?):

Da p² durch 3 teilbar ist und 3 sich in die Faktoren Wurzel(3)*Wurzel(3)=3 aufspalten lässt, muss p selbst nicht durch 3 teilbar sein, sondern nur durch Wurzel(3).

p=Wurzel(3)*c

=> [Wurzel(3)*c]² / q² = 3

=> 3c²/q² = 3

=> c²/q² = 1

=> c² = q²

=> c = q

=> Wurzel(3)*c=Wurzel(3)*q = p

Widerspruch, da p und q dann nicht mehr teilerfremd.

Beweis feddich?

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Arne

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3

Saturday, October 19th 2002, 5:04pm

mhh *selbstgespräch*

c² = q²
da kann ich nich c=q schlussfolgern weil ja immer + - ist beim quadrieren

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Joachim

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4

Saturday, October 19th 2002, 5:09pm

Quoted

Original von vier
geht das so (?):

Da p² durch 3 teilbar ist und 3 sich in die Faktoren Wurzel(3)*Wurzel(3)=3 aufspalten lässt, muss p selbst nicht durch 3 teilbar sein, sondern nur durch Wurzel(3).

[...]

Von der Idee her ist dein Beweis richtig, aber der Begriff der Teilbarkeit bezieht sich nur auf ganze Zahlen. Anders macht das ja auch keinen Sinn.

Du ziehst einfach den falschen Schluß. Da 3 eine Primzahl ist, gilt: 3 teilt p^2, also auch p (Stichwort Primfaktorzerlegung: wenn das Quadrat einer ganzen Zahl den Primfaktor 3 hat, dann muß diese Zahl auch den Primfaktor 3 haben).

Nochwas: Du kannst beim Beweisansatz ruhig von p, q aus N (und nicht aus Z) ausgehen, da die negative Lösung von x^2=3 ja betragsmäßig identisch mit der positiven sein muß.

The purpose of computing is insight, not numbers.

– Richard Hamming, 1962

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Arne

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5

Saturday, October 19th 2002, 5:17pm

und was hilft mir das weiter

also kann ich schlussfolgern wenn p,q in N:
c²=q² => c=q ????

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Joachim

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6

Saturday, October 19th 2002, 5:23pm

Quoted

Original von vier
und was hilft mir das weiter

Naja, du kannst den zweiten Teil des Beweises nun so führen:

p = 3*c, mit c aus N

=>

3*3*c^2 = 3*q^2

<=>

3*c^2 = q^2

=>

3 teilt q^2 und damit auch q.

=> Widerspruch zur Annahme

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– Richard Hamming, 1962