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Original von vier
Aufgabe 6.1a)

wie muss ich das in die obrigen Formel einsetzen bzw wie weise ich das genau nach?

Eigentlich gar nicht weiter schwierig. Einfach durch Einsetzen prüfen, ob der Grenzwert existiert (siehe Kasten).

Also:

f(x) = abs(x) * x
x_0 = 0

lim_{x->x_0} (f(x) - f(x_0)) / (x - x_0)
= lim_{x->x_0} (f(x) - f(0)) / (x - 0)
= lim_{x->x_0} (f(x) - 0) / x
= lim_{x->x_0} f(x) / x
= lim_{x->x_0} abs(x) * x / x
= lim_{x->x_0} abs(x)
= abs(x_0)
= abs(0)
= 0

Wie man sieht existiert dieser Grenzwert, also ist f in x_0=0 differenzierbar. Es gilt: f'(0) = 0.

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generell gesehen, würde es nicht auch reichen wenn ich das so mache (?):

f(x)=|x|*x <=> f(x)={ x² falls x>0 und -x² falls x<0 }

f'(x)=( 2x falls x>0 und -2x falls x<0 }
<=> f'(x)=2*|x|

Das reicht gerade nicht, weil du ja für x=0 eine Aussage treffen sollst. In deiner Rechnung behandelst du nur die Fälle x > 0 und x < 0. Für alle x != 0 kannst du es hier aber so machen.

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Original von vier
wenn ich ne tangente zu einer funktion berechne und dann mit der Tangentenbedinung f'(x)=(f(x)-y_0)/(x-x_0) die x-werte habe was mache ich dann nochmal damit?

Da willst also die Tangente an den Graph einer Funktion berechnen, sehe ich das richtig? (Falls nicht, solltest du die Frage klarer formulieren.)


Wollen wir mal eine Formel dafür herleiten:

Gesucht ist die Funktion g, die die Tangente an den Graph einer Funktion f im Punkt (x_0, f(x_0)) beschreibt.

Wir wissen, daß es sich bei der gesuchten Funktion g um eine Gerade handelt. Also gilt:

g(x) = a * x + b, wobei a die Steigung und b die Verschiebung in y-Richtung angibt.

Die Steigung kennen wir, denn das ist nichts anderes als f'(x_0).

Einsetzen liefert:

g(x) = f'(x_0) * x + b

Nun müssen wir noch b bestimmen. Da wir wissen, daß die Tangente den Tangentialpunkt (x_0, f(x_0)) schneidet, muß gelten:

f(x_0) = g(x_0)

Also gilt auch (Einsetzen in g):

f(x_0) = g(x_0) = f'(x_0) * x_0 + b

Umformen liefert:
b = f(x_0) - f'(x_0) * x_0

Das kann man nun wieder in g einsetzen:

g(x) = f'(x_0) * x + f(x_0) - f'(x_0) * x_0

Nach Vereinfachung folgt:

g(x) = f'(x_0) * (x - x_0) + f(x_0)


Dazu ein Beispiel:
Gesucht: Tangente g an f(x) = x^2 im Punkt (2, 4).
f'(x) = 2 * x
g(x) = 2 * 2 * (x - 2) + 4 = 4 * x - 4